ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(2\{x\} — \{x\}[x] = x — 5\).

Решить уравнение: \(2\{x\} — \{x\}[x] = x — 5;\)

1) Преобразуем уравнение:
\(2\{x\} — \{x\}[x] = \{x\} + \{x\} — 5;\)
\(\{x\} — \{x\}[x] = \{x\} — 5;\)
\(\{x\}(1 — [x]) = [x] — 5;\)
\(\{x\} = \frac{[x] — 5}{1 — [x]};\)

2) Значения левой части:
\(0 \leq \{x\} < 1;\)

3) Первое неравенство:
\(\frac{[x] — 5}{1 — [x]} \geq 0;\)
\(1 < [x] \leq 5;\)

4) Второе неравенство:
\(\frac{[x] — 5}{1 — [x]} < 1;\)
\(\frac{([x] — 5) — (1 — [x])}{1 — [x]} < 0;\)
\(\frac{2[x] — 6}{1 — [x]} > 0;\)
\([x] — 3 > 0;\)
\([x] < 1, [x] > 3;\)

5) Решения лежат на интервале:
\([x] \in (3; 5];\)
\([x] \in \{4; 5\};\)

6) Решения уравнения:
\(x = [x] + \{x\} = [x] + \frac{[x] — 5}{1 — [x]};\)
\(x_1 = 4 + \frac{4 — 5}{1 — 4} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3};\)
\(x_2 = 5 + \frac{5 — 5}{1 — 5} = 5 + 0 = 5;\)

Ответ: \(\frac{13}{3}; 5.\)

Рассмотрим уравнение \(2\{x\} — \{x\}x = x — 5\), где \(\{x\}\) — дробная часть числа \(x\), а \(x\) — его целая часть. По определению, любое действительное число \(x\) можно записать в виде суммы целой и дробной части: \(x = x + \{x\}\), где \(x\) — целое число, а \(\{x\}\) — число из интервала \(0 \leq \{x\} < 1\). Подставим это представление в исходное уравнение. Получаем: \(2\{x\} — \{x\}x = x + \{x\} — 5\). Переносим все слагаемые, содержащие \(\{x\}\), в одну часть: \(2\{x\} — \{x\}x — \{x\} = x — 5\). Вынесем \(\{x\}\) за скобки: \(\{x\}(2 — x — 1) = x — 5\), то есть \(\{x\}(1 — x) = x — 5\). Теперь выразим \(\{x\}\) через \(x\): \(\{x\} = \frac{x — 5}{1 — x}\).

Рассмотрим ограничения на значения \(\{x\}\). По определению дробной части, \(0 \leq \{x\} < 1\), значит, \(\frac{x — 5}{1 — x}\) должно удовлетворять этим условиям. Первое неравенство: \(\frac{x — 5}{1 — x} \geq 0\). Дробь положительна либо равна нулю, если числитель и знаменатель одного знака или числитель равен нулю. Числитель \(x — 5\) равен нулю при \(x = 5\), знаменатель \(1 — x\) равен нулю при \(x = 1\). Если \(x > 5\), числитель положителен, но знаменатель отрицателен, значит дробь отрицательна. Если \(x < 1\), числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь тоже отрицательна. Если \(1 < x \leq 5\), числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна. Таким образом, первое ограничение: \(1 < x \leq 5\).

Второе неравенство: \(\frac{x — 5}{1 — x} < 1\). Перенесём единицу влево: \(\frac{x — 5}{1 — x} — 1 < 0\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{x — 5 — (1 — x)}{1 — x} < 0\), то есть \(\frac{2x — 6}{1 — x} < 0\). Эта дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель разных знаков. Числитель \(2x — 6\) равен нулю при \(x = 3\). При \(x < 3\), числитель отрицателен, при \(x > 3\) — положителен. Знаменатель \(1 — x\) положителен при \(x < 1\), отрицателен при \(x > 1\). Совместим условия: \(x > 3\) и \(x > 1\), значит, \(x > 3\) и \(x \leq 5\) (по первому ограничению). Получаем: \(x \in (3; 5]\).

Далее, \(x\) — целое число, значит, \(x \in \{4, 5\}\). Подставим эти значения в исходное выражение для \(\{x\}\):

Для \(x = 4\): \(\{x\} = \frac{4 — 5}{1 — 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\), значит, \(x = x + \{x\} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}\).

Для \(x = 5\): \(\{x\} = \frac{5 — 5}{1 — 5} = \frac{0}{-4} = 0\), значит, \(x = x + \{x\} = 5 + 0 = 5\).

Ответ: \(\frac{13}{3}; 5\).