ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \([x]\{x\} — 3\{x\} = 6 — x\).

Решить уравнение: \([x]\{x\} — 3\{x\} = 6 — x\);

1) Преобразуем уравнение:
\([x]\{x\} — 3\{x\} = 6 — [x] — \{x\};\)
\([x]\{x\} — 2\{x\} = 6 — [x];\)
\(\{x\}([x] — 2) = 6 — [x];\)
\(\{x\} = \frac{6 — [x]}{[x] — 2};\)

2) Значения левой части:
\(0 \leq \{x\} < 1;\)

3) Первое неравенство:
\(\frac{6 — [x]}{[x] — 2} \leq 0;\)
\(2 < [x] \leq 6;\)

4) Второе неравенство:
\(\frac{6 — [x]}{[x] — 2} < 1;\)
\(\frac{(6 — [x]) — ([x] — 2)}{[x] — 2} < 0;\)
\(\frac{8 — 2[x]}{[x] — 2} < 0;\)
\([x] — 4 > 0;\)
\([x] < 2,\ [x] > 4;\)

5) Решения лежат на интервале:
\([x] \in (4; 6];\)
\([x] \in \{5; 6\};\)

6) Решения уравнения:
\(x = [x] + \{x\} = [x] + \frac{6 — [x]}{[x] — 2};\)
\(x_1 = 5 + \frac{6 — 5}{5 — 2} = 5 + \frac{1}{3} = 5 \frac{1}{3};\)
\(x_2 = 6 + \frac{6 — 6}{6 — 2} = 6 + \frac{0}{4} = 6;\)

Ответ: \(5 \frac{1}{3};\ 6.\)

Рассмотрим уравнение: \([x]\{x\} — 3\{x\} = 6 — x\). Здесь \([x]\) — целая часть числа \(x\), а \(\{x\}\) — дробная часть числа \(x\), то есть \(x = [x] + \{x\}\), где \(0 \leq \{x\} < 1\). Начнем с преобразования уравнения: перенесем все слагаемые, содержащие \(\{x\}\), в одну часть, а остальные — в другую. Получаем: \([x]\{x\} — 3\{x\} + \{x\} = 6 — [x]\), то есть \([x]\{x\} — 2\{x\} = 6 — [x]\). Вынесем \(\{x\}\) за скобку: \(\{x\}([x] — 2) = 6 — [x]\). Теперь выразим \(\{x\}\) через \([x]\): \(\{x\} = \frac{6 — [x]}{[x] — 2}\).

Учитывая, что по определению дробной части \(0 \leq \{x\} < 1\), подставим найденное выражение и получим двойное неравенство: \(0 \leq \frac{6 — [x]}{[x] — 2} < 1\). Первое неравенство: \(\frac{6 — [x]}{[x] — 2} \geq 0\). Числитель \(6 — [x]\) должен быть неотрицательным, а знаменатель \([x] — 2\) положительным, чтобы дробь была неотрицательной. \(6 — [x] \geq 0\) дает \([x] \leq 6\), а \([x] — 2 > 0\) дает \([x] > 2\). Таким образом, первое ограничение: \(2 < [x] \leq 6\). Второе неравенство: \(\frac{6 — [x]}{[x] — 2} < 1\). Переносим 1 влево: \(\frac{6 — [x]}{[x] — 2} — 1 < 0\), приводим к общему знаменателю: \(\frac{6 — [x] — ([x] — 2)}{[x] — 2} < 0\), то есть \(\frac{8 — 2[x]}{[x] — 2} < 0\). Числитель \(8 — 2[x]\) должен быть отрицательным, а знаменатель положительным, чтобы вся дробь была отрицательной. \(8 — 2[x] < 0\) дает \([x] > 4\), а \([x] — 2 > 0\) уже было найдено выше.

Пересечем оба условия: \(2 < [x] \leq 6\) и \([x] > 4\), получаем \(4 < [x] \leq 6\). Но \([x]\) — целое число, значит \([x] = 5\) или \([x] = 6\). Проверим оба значения. Если \([x] = 5\), то \(\{x\} = \frac{6 — 5}{5 — 2} = \frac{1}{3}\). Проверим, входит ли \(\frac{1}{3}\) в допустимый диапазон дробной части: \(0 \leq \frac{1}{3} < 1\) — да, подходит. Если \([x] = 6\), то \(\{x\} = \frac{6 — 6}{6 — 2} = 0\). Проверим, входит ли 0 в допустимый диапазон: \(0 \leq 0 < 1\) — тоже подходит.

Таким образом, \(x\) может принимать значения \(x_1 = 5 + \frac{1}{3}\) и \(x_2 = 6 + 0 = 6\). Подставим для проверки в исходное уравнение. Для \(x_1 = 5 + \frac{1}{3}\): \([x] = 5\), \(\{x\} = \frac{1}{3}\). Левая часть: \(5 \cdot \frac{1}{3} — 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} — 1 = \frac{2}{3}\). Правая часть: \(6 — (5 + \frac{1}{3}) = 6 — 5 — \frac{1}{3} = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). Для \(x_2 = 6\): \([x] = 6\), \(\{x\} = 0\). Левая часть: \(6 \cdot 0 — 3 \cdot 0 = 0\). Правая часть: \(6 — 6 = 0\). В обоих случаях равенство выполняется.

Ответ: \(5 \frac{1}{3};\ 6.\)