ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(|x — 1| — 1 = 2\).

Решить уравнение: \(|x — 1| — 1 = 2\).

1) Если \(x \geq 2\), тогда:
\((x — 1) — 1| = 2;\)
\(|x — 2| = 2;\)
\(x-2=2;\)
\(x = 4;\)

2) Если \(1 \leq x < 2\), тогда:
\((x — 1) — 1| = 2;\)
\(|x-2| = 2;\)
\(2-x=2;\)
\(x= 0;\)

3) Если \(0 \leq x < 1\), тогда:
\(|(1 -x) — 1| = 2;\)
\(|-x| = 2;\)
\(x = 2;\)

4) Если \(x < 0\), тогда:
\((1-x) — 1| = 2;\)
\(|-x| = 2;\)
\(-x =2;\)
\(x =- 2;\)

Ответ: \(- 2; 4.\)

Рассмотрим уравнение \(\left|\left|x — 1\right| — 1\right| = 2\). Это уравнение содержит вложенный модуль, поэтому решать его нужно поэтапно, разбивая на случаи в зависимости от значения переменной \(x\). Сначала рассмотрим внутренний модуль \(\left|x — 1\right|\). Значение выражения \(x — 1\) может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому рассмотрим два случая: \(x — 1 \geq 0\) и \(x — 1 < 0\), то есть \(x \geq 1\) и \(x < 1\) соответственно.

Если \(x \geq 1\), то \(\left|x — 1\right| = x — 1\). Тогда исходное уравнение принимает вид \(\left|x — 1 — 1\right| = 2\), то есть \(\left|x — 2\right| = 2\). Решая это уравнение, получаем два варианта: \(x — 2 = 2\) или \(x — 2 = -2\). В первом случае \(x = 4\), а во втором \(x = 0\). Однако, так как мы рассматриваем случай \(x \geq 1\), только \(x = 4\) подходит, а \(x = 0\) не удовлетворяет условию \(x \geq 1\).

Если \(x < 1\), то \(\left|x — 1\right| = 1 — x\). Подставляем это в исходное уравнение: \(\left|1 — x — 1\right| = 2\), то есть \(\left|-x\right| = 2\). Решения этого уравнения: \(-x = 2\) или \(-x = -2\), то есть \(x = -2\) или \(x = 2\). Но в данном случае учитываем только \(x < 1\), поэтому \(x = -2\) подходит, а \(x = 2\) не подходит, так как \(2 \geq 1\).

Если подробно рассмотреть все промежутки, то для \(x \geq 2\) модуль раскрывается как \(x — 1\), и получается \(\left|x — 2\right| = 2\), что даёт \(x = 4\) и \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в этот промежуток. Для \(1 \leq x < 2\) аналогично: \(\left|x — 2\right| = 2\), при этом \(x = 0\) не принадлежит этому промежутку, а \(x = 4\) не входит в него тоже. Для \(0 \leq x < 1\) раскрываем как \(\left|-x\right| = 2\), что даёт \(x = -2\) и \(x = 2\), но \(x = -2\) не принадлежит промежутку, а \(x = 2\) также не принадлежит. Для \(x < 0\) раскрывается \(\left|-x\right| = 2\), что даёт \(x = -2\), и это значение принадлежит данному промежутку.

В итоге, решение исходного уравнения: \(x = 4\) и \(x = -2\). То есть, уравнение имеет два корня: \(x = 4\) и \(x = -2\). Других решений нет, так как при подстановке других значений из промежутков условия не выполняются. Ответ: \(-2; 4\).