ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\sqrt{2a — 4 + 2\sqrt{a^2 — 4a + 3} — \sqrt{a — 1}}\).

1. Упростить выражение:

\(
\sqrt{2a-4+2\sqrt{a^2-4a+3}-\sqrt{a-1}}
\)

\(
= \sqrt{(a-1)+2\sqrt{(a-1)(a-3)}+(a-3)-\sqrt{a-1}}
\)

\(
= \sqrt{(\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3})^2-\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3};
\)

2. Нули квадратного трехчлена:

\(
a^2-4a+3=0;
\)

\(
D=4^2-4\cdot3=16-12=4,
\)

тогда: \(a_1=\frac{4-2}{2}=1\) и \(a_2=\frac{4+2}{2}=3;\)

Ответ: \(
\sqrt{a-3}
\).

Рассмотрим выражение \(\sqrt{2a-4+2\sqrt{a^2-4a+3}-\sqrt{a-1}}\) и подробно разъясним его упрощение. Первым шагом заметим, что подкоренное выражение содержит несколько слагаемых, среди которых есть квадратный корень и выражение \(a^2-4a+3\), которое можно разложить на множители. Разложим \(a^2-4a+3\): это квадратный трехчлен, который можно записать как \((a-1)(a-3)\), так как его корни находятся по формуле: \(a^2-4a+3=0\), дискриминант \(D=16-12=4\), корни \(a_1=\frac{4-2}{2}=1\), \(a_2=\frac{4+2}{2}=3\). Следовательно, \(a^2-4a+3=(a-1)(a-3)\).

Теперь выразим исходное выражение через найденные множители: \(\sqrt{2a-4+2\sqrt{(a-1)(a-3)}-\sqrt{a-1}}\). Далее, сгруппируем слагаемые внутри корня: \(2a-4\) можно представить как \((a-1)+(a-3)\), ведь \(a-1+a-3=2a-4\). Таким образом, получаем: \(\sqrt{(a-1)+2\sqrt{(a-1)(a-3)}+(a-3)-\sqrt{a-1}}\). Теперь рассмотрим выражение \((a-1)+2\sqrt{(a-1)(a-3)}+(a-3)\) — оно похоже на формулу квадрата суммы: \((\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3})^2=(a-1)+2\sqrt{(a-1)(a-3)}+(a-3)\). Значит, под корнем стоит \((\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3})^2-\sqrt{a-1}\).

Дальнейшее упрощение заключается в том, что \(\sqrt{(\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3})^2}=\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3}\), так как корень и квадрат взаимно обратны для неотрицательных выражений. Тогда исходное выражение упрощается до \(\sqrt{a-1}+\sqrt{a-3}-\sqrt{a-1}\). Остается только \(\sqrt{a-3}\), так как \(\sqrt{a-1}-\sqrt{a-1}=0\). Таким образом, после всех преобразований, исходное выражение \(\sqrt{2a-4+2\sqrt{a^2-4a+3}-\sqrt{a-1}}\) равно \(\sqrt{a-3}\).

Квадратный трехчлен \(a^2-4a+3\) был разложен на множители с помощью нахождения его корней. Для этого был вычислен дискриминант: \(D=4^2-4\cdot3=16-12=4\). Корни находятся по формуле: \(a_1=\frac{4-2}{2}=1\), \(a_2=\frac{4+2}{2}=3\). Это значит, что \(a^2-4a+3=(a-1)(a-3)\). Это разложение позволило существенно упростить выражение под корнем и привести его к виду квадрата суммы двух корней, что и стало ключевым шагом в упрощении.

Ответ: \(\sqrt{a-3}\).