ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2(x + 1)(x- 4) > 0\);

2) \((1 — 2x)(x- 3)^9(2x + 7)^(x + 4)(x- 2)^2 > 0\).

1) \(x^2(x+1)(x-4) > 0\)

Решение: \(x^2 > 0\) всегда, кроме \(x = 0\). Для произведения \((x+1)(x-4) > 0\), корни \(x = -1\) и \(x = 4\) делят числовую ось на промежутки. Знаки на промежутках: \(x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\), исключая \(x = 0\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\).

2) \((1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2 > 0\)

Решение: Анализируем знаки каждого множителя. Корни: \(x = \frac{1}{2}, x = 3, x = -\frac{7}{2}, x = -4, x = 2\). Учитываем чётность степеней: \(x = 3, x = 2\) не меняют знак. Знаки меняются в остальных точках. Итог: \(x \in (-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{2}; 2\right) \cup (2; 3)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{2}; 2\right) \cup (2; 3)\).

1) \(x^2(x+1)(x-4) > 0\)

Рассмотрим каждый множитель отдельно. Первый множитель \(x^2\) всегда больше нуля, кроме точки \(x = 0\), где он равен нулю. Следовательно, \(x^2 > 0\) на всех \(x \neq 0\). Второй множитель \((x+1)\) изменяет знак в точке \(x = -1\), а третий множитель \((x-4)\) изменяет знак в точке \(x = 4\).

Корни уравнения \(x = -1\) и \(x = 4\) делят числовую ось на три промежутка: \((- \infty; -1)\), \((-1; 4)\) и \((4; +\infty)\). Проверяем знаки на каждом из этих промежутков:
— На промежутке \((- \infty; -1)\): \(x+1 < 0\), \(x-4 < 0\), значит произведение \((x+1)(x-4) > 0\).
— На промежутке \((-1; 4)\): \(x+1 > 0\), \(x-4 < 0\), значит произведение \((x+1)(x-4) < 0\).
— На промежутке \((4; +\infty)\): \(x+1 > 0\), \(x-4 > 0\), значит произведение \((x+1)(x-4) > 0\).

Итак, решение: \(x^2 > 0\) всегда, кроме \(x = 0\), а \((x+1)(x-4) > 0\) на промежутках \((- \infty; -1)\) и \((4; +\infty)\). Исключаем \(x = 0\), так как \(x^2 = 0\) в этой точке.

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\).

2) \((1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2 > 0\)

Рассмотрим множители отдельно. Первый множитель \((1-2x)\) изменяет знак в точке \(x = \frac{1}{2}\). Второй множитель \((x-3)^9\) имеет нечётную степень, поэтому изменяет знак в точке \(x = 3\). Третий множитель \((2x+7)^6\) имеет чётную степень, поэтому не изменяет знак и всегда положителен, кроме точки \(x = -\frac{7}{2}\), где он равен нулю. Четвёртый множитель \((x+4)\) изменяет знак в точке \(x = -4\), а пятый множитель \((x-2)^2\) имеет чётную степень, поэтому не изменяет знак и всегда положителен, кроме точки \(x = 2\), где он равен нулю.

Корни уравнения \(x = \frac{1}{2}\), \(x = 3\), \(x = -\frac{7}{2}\), \(x = -4\) и \(x = 2\) делят числовую ось на несколько промежутков. Проверяем знаки на каждом из них:
— На промежутке \((- \infty; -4)\): \(1-2x > 0\), \(x-3 < 0\), \(2x+7 < 0\), \(x+4 < 0\), \(x-2 < 0\), значит произведение положительно.
— На промежутке \((-4; -\frac{7}{2})\): \(1-2x > 0\), \(x-3 < 0\), \(2x+7 > 0\), \(x+4 > 0\), \(x-2 < 0\), значит произведение отрицательно.
— На промежутке \((-\frac{7}{2}; \frac{1}{2})\): \(1-2x > 0\), \(x-3 < 0\), \(2x+7 > 0\), \(x+4 > 0\), \(x-2 < 0\), значит произведение положительно.
— На промежутке \((\frac{1}{2}; 2)\): \(1-2x < 0\), \(x-3 < 0\), \(2x+7 > 0\), \(x+4 > 0\), \(x-2 < 0\), значит произведение отрицательно.
— На промежутке \((2; 3)\): \(1-2x < 0\), \(x-3 < 0\), \(2x+7 > 0\), \(x+4 > 0\), \(x-2 > 0\), значит произведение положительно.
— На промежутке \((3; +\infty)\): \(1-2x < 0\), \(x-3 > 0\), \(2x+7 > 0\), \(x+4 > 0\), \(x-2 > 0\), значит произведение отрицательно.

Итак, решение: произведение положительно на промежутках \((- \infty; -4)\), \((\frac{1}{2}; 2)\) и \((2; 3)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{2}; 2\right) \cup (2; 3)\).