ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((2- x)(3x+ 5)(x^2 — x+ 1) > 0\);

2) \((2x + 1)^2(x^2 — 4x + 3) > 0\);

3) \((3x^2 — 5x — 2)(2x^2 + x+ 1) < 0\);

4) \(3x^3 + 2x^2 — x < 0\);

5) \(x^3- 2x^2- x+ 2 > 0\);

6) \((2x^2 + 5x — 3)(2x^2 — 5x + 2) > 0\).

1) Рассмотрим неравенство \((2-x)(3x+5)(x^{2}-x+1)>0\). Корни: \(x=2\) и \(x=-\frac{5}{3}\). Выражение \(x^{2}-x+1>0\) всегда положительно. Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-\frac{5}{3}; 2)\).

2) Рассмотрим неравенство \((2x+1)^{2}(x^{2}-4x+3)>0\). Корни: \(x=-\frac{1}{2}\), \(x=1\), \(x=3\). Знаки чередуются, учитывая кратность. Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)\).

3) Рассмотрим неравенство \((3x^{2}-5x-2)(2x^{2}+x+1)<0\). Корни: \(x=-\frac{1}{3}\), \(x=2\). Выражение \(2x^{2}+x+1>0\) всегда положительно. Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-\frac{1}{3}; 2)\).

4) Рассмотрим неравенство \(3x^{3}+2x^{2}-x<0\). Корни: \(x=-1\), \(x=0\), \(x=\frac{1}{3}\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (0; \frac{1}{3})\).

5) Рассмотрим неравенство \(x^{3}-2x^{2}-x+2>0\). Корни: \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-1; 1) \cup (2; +\infty)\).

6) Рассмотрим неравенство \((2x^{2}+5x-3)(2x^{2}-5x+2)>0\). Корни: \(x=-3\), \(x=\frac{1}{2}\), \(x=2\). Знаки чередуются. Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)\).

1) Для неравенства \((2-x)(3x+5)(x^{2}-x+1)>0\) определим нули каждого множителя. Первый множитель \(2-x=0\) при \(x=2\). Второй множитель \(3x+5=0\) при \(x=-\frac{5}{3}\). Третий множитель \(x^{2}-x+1=0\) не имеет корней, так как дискриминант \(D=1-4=-3<0\), следовательно, \(x^{2}-x+1>0\) всегда. Знаки выражения меняются в точках \(x=-\frac{5}{3}\) и \(x=2\). Решение: \(x \in \left(-\frac{5}{3}; 2\right)\).

2) Для неравенства \((2x+1)^{2}(x^{2}-4x+3)>0\) определим нули каждого множителя. Первый множитель \(2x+1=0\) при \(x=-\frac{1}{2}\). Второй множитель \(x^{2}-4x+3=0\) имеет корни \(x=1\) и \(x=3\), так как \(D=16-12=4\). Знаки выражения меняются в точках \(x=-\frac{1}{2}\), \(x=1\), \(x=3\). Решение: \(x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(1; 3\right) \cup \left(3; +\infty\right)\).

3) Для неравенства \((3x^{2}-5x-2)(2x^{2}+x+1)<0\) определим нули каждого множителя. Первый множитель \(3x^{2}-5x-2=0\) имеет корни \(x=-\frac{1}{3}\) и \(x=2\), так как \(D=49\). Второй множитель \(2x^{2}+x+1=0\) не имеет корней, так как \(D=-9<0\), следовательно, \(2x^{2}+x+1>0\) всегда. Знаки выражения меняются в точках \(x=-\frac{1}{3}\) и \(x=2\). Решение: \(x \in \left(-\frac{1}{3}; 2\right)\).

4) Для неравенства \(3x^{3}+2x^{2}-x<0\) выделим общий множитель \(x\), получаем \(x(3x^{2}+2x-1)<0\). Первый множитель \(x=0\). Второй множитель \(3x^{2}+2x-1=0\) имеет корни \(x=-1\) и \(x=\frac{1}{3}\), так как \(D=16\). Знаки выражения меняются в точках \(x=-1\), \(x=0\), \(x=\frac{1}{3}\). Решение: \(x \in \left(-\infty; -1\right) \cup \left(0; \frac{1}{3}\right)\).

5) Для неравенства \(x^{3}-2x^{2}-x+2>0\) выделим общий множитель \((x-2)\), получаем \((x+1)(x-1)(x-2)>0\). Нули множителей: \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\). Знаки выражения меняются в точках \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\). Решение: \(x \in \left(-1; 1\right) \cup \left(2; +\infty\right)\).

6) Для неравенства \((2x^{2}+5x-3)(2x^{2}-5x+2)>0\) определим нули каждого множителя. Первый множитель \(2x^{2}+5x-3=0\) имеет корни \(x=-3\) и \(x=\frac{1}{2}\), так как \(D=49\). Второй множитель \(2x^{2}-5x+2=0\) имеет корни \(x=2\) и \(x=\frac{1}{2}\), так как \(D=9\). Знаки выражения меняются в точках \(x=-3\), \(x=\frac{1}{2}\), \(x=2\). Решение: \(x \in \left(-\infty; -3\right) \cup \left(2; +\infty\right)\).