ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((4 — x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0\);

2) \(|x- 3|(3x + 2)^3(3x^2 — 5x + 6) > 0\);

3) \(x^3-6x+ 5 > 0\);

4) \((x^2-4)(3x^2 + 7x+2) > 0\).

1) \((4-x)(3x+1)(x^{4}+x^{2}+1)<0\)

Рассмотрим знак каждого множителя.

\((3x+1)(x-4)>0\), отсюда \(x<-\frac{1}{3}\) или \(x>4\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty)\).

2) \(|x-3|(3x+2)^{3}(3x^{2}-5x+6)>0\)

Рассмотрим условия: \(3x+2>0\), \(x-3 \neq 0\). Получаем \(x>-\frac{2}{3}\), \(x \neq 3\).

Рассчитаем дискриминант квадратного трёхчлена \(3x^{2}-5x+6=0\): \(D=5^{2}-4 \cdot 3 \cdot 6=25-72=-47\). Корней нет (\(x \in \emptyset\)).

Ответ: \(x \in (-\frac{2}{3}; 3) \cup (3; +\infty)\).

3) \(x^{3}-6x+5>0\)

Разложим: \(x^{3}-x-5x+5>0\), \(x(x^{2}-1)-5(x-1)>0\), \((x+1)(x-1)-5(x-1)>0\), \((x+1)(x-1)-5>0\).

Уравнение \((x+1)(x-1)-5=0\) приводит к квадратному уравнению \(x^{2}+x-5=0\). Дискриминант: \(D=1^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-5)=1+20=21\). Корни: \(x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\), \(x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\).

Рассмотрим промежутки: \(x<1\), \(x>2\).

Ответ: \(x \in \left(-\frac{1+\sqrt{21}}{2}; 1\right) \cup \left(-\frac{1-\sqrt{21}}{2}; +\infty\right)\).

4) \((x^{2}-4)(3x^{2}+7x+2)>0\)

Разложим: \((x+2)^{2}(x-\frac{1}{3})(x-2)>0\). Условия: \(x \neq -2\), \(x \neq 2\).

Рассчитаем дискриминант квадратного трёхчлена \(3x^{2}+7x+2=0\): \(D=7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 2=49-24=25\). Корни: \(x_{1}=\frac{-7-5}{6}=-2\), \(x_{2}=\frac{-7+5}{6}=-\frac{1}{3}\).

Рассмотрим промежутки: \(x<-\frac{1}{3}\), \(x>2\), \(x \neq -2\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)\).

1) Неравенство \((4-x)(3x+1)(x^{4}+x^{2}+1)<0\) состоит из трёх множителей: \(4-x\), \(3x+1\), \(x^{4}+x^{2}+1\).

Начнём с анализа знаков каждого множителя. Первый множитель \(4-x\) меняет знак при \(x=4\): он положителен при \(x<4\) и отрицателен при \(x>4\). Второй множитель \(3x+1\) меняет знак при \(x=-\frac{1}{3}\): он положителен при \(x>-\frac{1}{3}\) и отрицателен при \(x<-\frac{1}{3}\). Третий множитель \(x^{4}+x^{2}+1\) всегда положителен, так как сумма квадратов и единицы не может быть отрицательной.

Таким образом, знак выражения определяется только первыми двумя множителями. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы произведение \(4-x\) и \(3x+1\) было отрицательным. Это возможно в двух случаях: когда \(4-x>0\) и \(3x+1<0\), то есть \(x<4\) и \(x<-\frac{1}{3}\), что даёт промежуток \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3})\), либо когда \(4-x<0\) и \(3x+1>0\), то есть \(x>4\) и \(x>-\frac{1}{3}\), что даёт промежуток \(x \in (4; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (4; +\infty)\).

2) Неравенство \(|x-3|(3x+2)^{3}(3x^{2}-5x+6)>0\) состоит из трёх множителей: \(|x-3|\), \(3x+2\), \(3x^{2}-5x+6\).

Первый множитель \(|x-3|\) положителен везде, кроме точки \(x=3\), где он равен нулю. Второй множитель \(3x+2\) меняет знак при \(x=-\frac{2}{3}\): он положителен при \(x>-\frac{2}{3}\) и отрицателен при \(x<-\frac{2}{3}\). Третий множитель \(3x^{2}-5x+6\) является квадратным трёхчленом. Найдём его дискриминант: \(D=(-5)^{2}-4 \cdot 3 \cdot 6=25-72=-47\). Так как дискриминант отрицателен, корней у трёхчлена нет, а его старший коэффициент положителен, следовательно, \(3x^{2}-5x+6>0\) для всех \(x\).

Таким образом, знак выражения определяется только первым и вторым множителями. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы произведение \(|x-3|(3x+2)^{3}\) было положительным. Это возможно при \(x \neq 3\) и \(x>-\frac{2}{3}\).

Ответ: \(x \in (-\frac{2}{3}; 3) \cup (3; +\infty)\).

3) Неравенство \(x^{3}-6x+5>0\) является кубическим уравнением.

Для анализа знаков разложим его на множители. Заметим, что \(x^{3}-6x+5=0\) можно решить методом подбора. Подставляя \(x=1\), получаем \(1^{3}-6 \cdot 1+5=0\), то есть \(x=1\) — корень уравнения. Разделим \(x^{3}-6x+5\) на \((x-1)\) с помощью схемы Горнера: \(x^{3}-6x+5=(x-1)(x^{2}+x-5)\).

Теперь найдём корни квадратного трёхчлена \(x^{2}+x-5=0\). Дискриминант: \(D=1^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-5)=1+20=21\). Корни: \(x_{1}=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\), \(x_{2}=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\).

Таким образом, исходное неравенство \(x^{3}-6x+5>0\) имеет три точки изменения знака: \(x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\), \(x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\), \(x=1\). Произведение положительно на промежутках, где число отрицательных множителей чётное: \(x \in \left(-\frac{1+\sqrt{21}}{2}; 1\right) \cup \left(-\frac{1-\sqrt{21}}{2}; +\infty\right)\).

Ответ: \(x \in \left(-\frac{1+\sqrt{21}}{2}; 1\right) \cup \left(-\frac{1-\sqrt{21}}{2}; +\infty\right)\).

4) Неравенство \((x^{2}-4)(3x^{2}+7x+2)>0\) состоит из двух множителей: \(x^{2}-4\) и \(3x^{2}+7x+2\).

Первый множитель \(x^{2}-4\) можно разложить на множители: \(x^{2}-4=(x-2)(x+2)\). Он меняет знак в точках \(x=-2\) и \(x=2\): положителен при \(x<-2\) или \(x>2\), отрицателен при \(-2<x<2\).

Второй множитель \(3x^{2}+7x+2\) является квадратным трёхчленом. Найдём его дискриминант: \(D=7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 2=49-24=25\). Корни: \(x_{1}=\frac{-7-5}{6}=-2\), \(x_{2}=\frac{-7+5}{6}=-\frac{1}{3}\).

Таким образом, второй множитель меняет знак в точках \(x=-2\) и \(x=-\frac{1}{3}\): положителен при \(x<-2\) или \(x>-\frac{1}{3}\), отрицателен при \(-2<x<-\frac{1}{3}\).

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы произведение двух множителей было положительным. Это возможно на промежутках, где оба множителя положительны или оба отрицательны: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)\).