ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((4 — x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0\);

2) \(|x- 3|(3x + 2)^3(3x^2 — 5x + 6) > 0\);

3) \(x^3-6x+ 5 > 0\);

4) \((x^2-4)(3x^2 + 7x+2) > 0\).

1) Переформируем знак: \((4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1)<0 \Rightarrow (3x+1)(x-4)>0\).
Разобьём на интервалы по нулям \(x=-\frac{1}{3}\) и \(x=4\): знак положителен при \(x<-\frac{1}{3}\) или \(x>4\).
Ответ: \(x\in(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(4,+\infty)\).

2) \(|x-3|(3x+2)^3(3x^2-5x+6)>0\).
Требуется \(3x+2>0\Rightarrow x>-\frac{2}{3}\), \(|x-3|>0\Rightarrow x\neq3\), а \(3x^2-5x+6>0\) для всех \(x\) (дискриминант отрицателен).
Ответ: \(x\in(-\frac{2}{3},3)\cup(3,+\infty)\).

3) \(x^3-6x+5>0\Rightarrow (x-1)(x^2+x-5)>0\).
Корни: \(x=1\) и \(x=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}\). Знаковая схема даёт положительность на интервалах между корнями, исключая \(x=1\).
Ответ: \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{2},\,1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{21}}{2},\,+\infty\right)\).

4) \((x^2-4)(3x^2+7x+2)>0\Rightarrow (x-2)(x+2)(3x^2+7x+2)>0\).
Корни: \(x=\pm2\) и у квадратичного \(x_1=-2,\; x_2=-\frac{1}{3}\). Учитывая кратность, знаки положительны на: \(x\in(-\infty,-2)\), затем между \(-2\) и \(-\frac{1}{3}\), и при \(x>2\).
Ответ: \(x\in(-\infty,-2)\cup(-2,-\frac{1}{3})\cup(2,+\infty)\).

1) Рассмотрим \((4-x)(3x+1)(x^{4}+x^{2}+1)<0\). Заметим, что многочлен \(x^{4}+x^{2}+1>0\) для всех \(x\) (это сумма неотрицательных членов и единицы), поэтому знак выражения определяется произведением \((4-x)(3x+1)\). Удобно поменять знак первого множителя: \((4-x)=-(x-4)\), тогда неравенство эквивалентно \((3x+1)(x-4)>0\). Найдём нули: \(3x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\), \(x-4=0\Rightarrow x=4\). Расставим интервалы \((-\infty,-\frac{1}{3})\), \((-\frac{1}{3},4)\), \((4,+\infty)\) и определим знак произведения, учитывая, что на каждом интервале он не меняется. При \(x<-\frac{1}{3}\) оба множителя отрицательны и положительны соответственно, их произведение положительно; при \(-\frac{1}{3}<x<4\) знаки разные, произведение отрицательно; при \(x>4\) оба множителя положительны, произведение положительно. Точки \(x=-\frac{1}{3}\) и \(x=4\) не включаются, так как дают ноль. Ответ: \(x\in(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(4,+\infty)\).

2) Рассмотрим \(|x-3|(3x+2)^{3}(3x^{2}-5x+6)>0\). Модуль \(|x-3|>0\) для всех \(x\neq3\); кубический множитель \((3x+2)^{3}\) по знаку совпадает с \(3x+2\), то есть требуется \(3x+2>0\Rightarrow x>-\frac{2}{3}\). Квадратичный множитель \(3x^{2}-5x+6\) всегда положителен, так как его дискриминант \(D=(-5)^{2}-4\cdot3\cdot6=25-72=-47<0\), следовательно корней нет и ветви вверх дают положительные значения для всех \(x\). Совокупность условий: \(x>-\frac{2}{3}\) и \(x\neq3\). Значит решение — все \(x\) справа от \(-\frac{2}{3}\), кроме точки \(x=3\). Ответ: \(x\in(-\frac{2}{3},3)\cup(3,+\infty)\).

3) Рассмотрим \(x^{3}-6x+5>0\). Сгруппируем: \(x^{3}-6x+5=(x^{3}-x)-(5x-5)=x(x^{2}-1)-5(x-1)=(x-1)(x^{2}+x-5)\). Следовательно решаем \((x-1)(x^{2}+x-5)>0\). Найдём корни: \(x-1=0\Rightarrow x=1\); для \(x^{2}+x-5=0\) имеем дискриминант \(D=1+20=21\), корни \(x=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}\). Упорядочим их: \(\frac{-1-\sqrt{21}}{2}<\frac{-1+\sqrt{21}}{2}<1\). На числовой оси произведение положительно там, где множители имеют одинаковый знак. Знаковая схема даёт интервалы положительности между левым и средним корнями, а также правее среднего корня, исключая точку \(x=1\), где произведение равно нулю. Итог: \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{2},1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{21}}{2},+\infty\right)\).

4) Рассмотрим \((x^{2}-4)(3x^{2}+7x+2)>0\). Разложим первое: \(x^{2}-4=(x-2)(x+2)\). Второй множитель раскладывается по корням дискриминанта \(D=7^{2}-4\cdot3\cdot2=49-24=25\): \(x=\frac{-7\pm5}{2\cdot3}\Rightarrow x_{1}=\frac{-12}{6}=-2,\; x_{2}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\). Тогда выражение есть произведение трёх линейных множителей \((x-2)(x+2)(x+2)(3x+1)\), но удобнее использовать корни \(-2\), \(-\frac{1}{3}\), \(2\) с кратностями: \(x=-2\) появляется и из \(x+2\), и из квадратичного — общая кратность нечётная, значит знак меняется; \(x=-\frac{1}{3}\) — из квадратичного (одинарный корень); \(x=2\) — из \(x-2\). Расставим интервалы: \((-\infty,-2)\), \((-2,-\frac{1}{3})\), \((-\frac{1}{3},2)\), \((2,+\infty)\). Проверка знаков показывает положительность на первом, втором и последнем интервалах, а на \((-\frac{1}{3},2)\) знак отрицателен. Точки корней исключаются, так как дают ноль. Ответ: \(x\in(-\infty,-2)\cup(-2,-\frac{1}{3})\cup(2,+\infty)\).