ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{x+3}{x+8} > 0\);

2) \(\frac{(x-2)(x + 1)}{x-4} < 0\);

3) \(\frac{(2x-1)(x-5)}{(2- x)(x-5)} < 0\);

4) \(\frac{x^3(x-1)^4(x +5)}{x^3-64x} > 0\);

5) \(\frac{x^3 — x^2 + x -1}{x+7} < 0\);

6) \(\frac{x^4 + x^2 +1}{x^2 — 4x — 5} > 0\);

7) \(\frac{x^2 + 5x -6}{(x + 2)(1 — 3x)} < 0\);

8) \(\frac{x^4 -3x^2)(x^4 + x^3 -8x — 8)}{(1- x)(x+2)} < 0\).

1) \(\frac{x+3}{x-1}>0\)
Решение: \(x+3>0, x-1>0\) или \(x+3<0, x-1<0\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\).

2) \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0\)
Решение: \(x-2>0, x+1>0, x-4<0\) и другие комбинации.
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)\).

3) \(\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)}<0\)
Решение: Анализ знаков числителя и знаменателя.
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (2; 3) \cup (5; +\infty)\).

4) \(\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0\)
Решение: Учитываем точки разрыва и переходы через нули.
Ответ: \(x \in (-5; 0) \cup (\frac{1}{4}; 1) \cup (1; 8)\).

5) \(\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8}<0\)
Решение: \(x^3-x^2+x-1=0\) и анализ знаков.
Ответ: \(x \in (-8; 1)\).

6) \(\frac{x^4+x^2+1}{x^2-4x-5}>0\)
Решение: Корни квадратного трёхчлена \(x^2-4x-5=0\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)\).

7) \(\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2}>0\)
Решение: Корни числителя и знаменателя, анализ знаков.
Ответ: \(x \in (-2; 1) \cup (3; 4)\).

8) \(\frac{x^6+3x^4-x^2-3}{x^3-64x}<0\)
Решение: Учитываем точки разрыва и переходы через нули.
Ответ: \(x \in (-\infty; -8) \cup (-1; 0) \cup (1; 8)\).

1) \(\frac{x+3}{x-1}>0\)
Рассмотрим числитель \(x+3\) и знаменатель \(x-1\). Числитель \(x+3>0\) при \(x>-3\), знаменатель \(x-1>0\) при \(x>1\). Для выполнения неравенства дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Таким образом, \(x>-3\) и \(x>1\), что даёт \(x>1\). Также дробь положительна, если \(x+3<0\) и \(x-1<0\), то есть \(x<-3\). Исключаем точку \(x=1\), где знаменатель обращается в ноль.
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\).

2) \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0\)
Числитель \(x-2\) и \(x+1\) обращаются в ноль при \(x=2\) и \(x=-1\) соответственно, знаменатель \(x-4\) при \(x=4\). Интервалы: \((- \infty; -1)\), \((-1; 2)\), \((2; 4)\), \((4; +\infty)\). Анализируем знаки на каждом интервале. При \(x \in (-\infty; -1)\) произведение числителя отрицательно, знаменатель отрицателен, дробь положительна. При \(x \in (-1; 2)\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна. При \(x \in (2; 4)\) числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна. При \(x \in (4; +\infty)\) числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)\).

3) \(\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)}<0\)
Числитель \(2x+1=0\) при \(x=-\frac{1}{2}\), \(x-3=0\) при \(x=3\). Знаменатель \(2-x=0\) при \(x=2\), \(x-5=0\) при \(x=5\). Интервалы: \((- \infty; -\frac{1}{2})\), \((- \frac{1}{2}; 2)\), \((2; 3)\), \((3; 5)\), \((5; +\infty)\). Анализируем знаки: при \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2})\) дробь отрицательна, при \(x \in (-\frac{1}{2}; 2)\) дробь положительна, при \(x \in (2; 3)\) дробь отрицательна, при \(x \in (3; 5)\) дробь положительна, при \(x \in (5; +\infty)\) дробь отрицательна.
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (2; 3) \cup (5; +\infty)\).

4) \(\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0\)
Числитель \(x^3\) обращается в ноль при \(x=0\), \(x-1\) при \(x=1\), \(x+5\) при \(x=-5\). Знаменатель \(x-8=0\) при \(x=8\), \(1-4x=0\) при \(x=\frac{1}{4}\). Интервалы: \((- \infty; -5)\), \((-5; 0)\), \((0; \frac{1}{4})\), \((\frac{1}{4}; 1)\), \((1; 8)\), \((8; +\infty)\). Анализируем знаки на каждом интервале. Дробь положительна на интервалах \((-5; 0)\), \((\frac{1}{4}; 1)\), \((1; 8)\).
Ответ: \(x \in (-5; 0) \cup (\frac{1}{4}; 1) \cup (1; 8)\).

5) \(\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8}<0\)
Числитель \(x^3-x^2+x-1=0\) решается методом разложения. Корни: \(x=1\), \(x=-1\), \(x=-\frac{1}{2}\). Знаменатель \(x+8=0\) при \(x=-8\). Интервалы: \((- \infty; -8)\), \((-8; -1)\), \((-1; -\frac{1}{2})\), \((- \frac{1}{2}; 1)\), \((1; +\infty)\). Анализируем знаки. Дробь отрицательна на интервале \((-8; 1)\).
Ответ: \(x \in (-8; 1)\).

6) \(\frac{x^4+x^2+1}{x^2-4x-5}>0\)
Знаменатель \(x^2-4x-5=0\) имеет корни \(x=-1\), \(x=5\). Числитель \(x^4+x^2+1>0\) всегда положителен. Интервалы: \((- \infty; -1)\), \((-1; 5)\), \((5; +\infty)\). Дробь положительна на интервалах \((- \infty; -1)\), \((5; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)\).

7) \(\frac{(x-4)(x-3)(3x-7-x^2)}{x^2+x-2}>0\)
Числитель \(3x-7-x^2=0\) не имеет действительных корней (\(D<0\)). Знаменатель \(x^2+x-2=0\) имеет корни \(x=-2\), \(x=1\). Интервалы: \((- \infty; -2)\), \((-2; 1)\), \((1; 3)\), \((3; 4)\), \((4; +\infty)\). Дробь положительна на интервалах \((-2; 1)\), \((3; 4)\).
Ответ: \(x \in (-2; 1) \cup (3; 4)\).

8) \(\frac{x^6+3x^4-x^2-3}{x^3-64x}<0\)
Числитель \(x^6+3x^4-x^2-3=0\) разлагается на множители. Знаменатель \(x^3-64x=0\) имеет корни \(x=-8\), \(x=0\), \(x=8\). Интервалы: \((- \infty; -8)\), \((-8; -1)\), \((-1; 0)\), \((0; 1)\), \((1; 8)\), \((8; +\infty)\). Дробь отрицательна на интервалах \((- \infty; -8)\), \((-1; 0)\), \((1; 8)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -8) \cup (-1; 0) \cup (1; 8)\).