ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{x}{x+2} < 0\);

2) \(\frac{(3x-2)(4-x)}{(x + 3)(x- 1)} > 0\);

3) \(\frac{(x-2)(2x + 1)^3}{(3 — x)+(1 — 5x)^5} > 0\);

4) \(\frac{x^2-5x + 7}{2x^2 — 5x + 2} > 0\).

1) \(x + 2 < 0\): \(-2 < x < 0\). Ответ: \(x \in (-2; 0)\).

2) \((3x — 2)(4 — x) > 0\): \(-3 < x < \frac{2}{3}, 1 < x < 4\). Ответ: \(x \in (-3; \frac{2}{3}) \cup (1; 4)\).

3) \((x — 2)(2x + 1)^3 > 0\): \(x < -\frac{1}{2}, \frac{1}{5} \leq x < 2, x \neq 3\). Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{5}; 2)\).

4) \(x^2 — 5x + 7 > 0\): \(D < 0, x \in \emptyset\). \(-2x^2 + 3x + 2 > 0\): \(x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 2\). Ответ: \(x \in (-\frac{1}{2}; 2)\).

5) \((x — 2)(x^2 — 1)(4x — 5 — 3x^2) < 0\): \(D < 0, x \in \emptyset\). Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 1) \cup (2; +\infty)\).

6) \((x^3 — 8)(x^2 — 6x — 7) > 0\): \(x_1 = -1, x_2 = 7\). Ответ: \(x \in (-1; 1) \cup (2; 3) \cup (7; +\infty)\).

7) \(x^2 + 5x — 6 > 0\): \(x_1 = -6, x_2 = 1\). Ответ: \(x \in (-\infty; -6) \cup (-2; 1) \cup (1; +\infty)\).

8) \((x^4 — 3x^2)(x^4 + x^3 — 8x — 8) < 0\): \(x < -2, -\sqrt{3} < x < -1, 1 < x < \sqrt{3}, x > 2, x \neq 0\). Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-\sqrt{3}; -1) \cup (1; \sqrt{3}) \cup (2; +\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \(x + 2 < 0\). Переносим \(2\) вправо: \(x < -2\). Решением данного неравенства является интервал, где \(x\) меньше \(-2\), но также учитываем, что \(x < 0\). Итоговый ответ: \(x \in (-2; 0)\).

2) Рассмотрим неравенство \((3x — 2)(4 — x) > 0\). Раскрываем скобки: \(3x — 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\) и \(4 — x > 0 \Rightarrow x < 4\). Далее, знаменатель \((x + 3)(x — 1)\) требует исключения точек \(x = -3\) и \(x = 1\), так как при этих значениях выражение становится неопределённым. Итоговое решение: \(x \in (-3; \frac{2}{3}) \cup (1; 4)\).

3) Рассмотрим неравенство \((x — 2)(2x + 1)^3 > 0\). Учитываем точки, где выражение равно нулю: \(x = -\frac{1}{2}, x = 2\). Далее, знаменатель \((3 — x)^4(1 — 5x)^5\) требует исключения точек \(x = 3\) и \(x = \frac{1}{5}\), так как при этих значениях выражение становится неопределённым. Итоговое решение: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{5}; 2)\).

4) Для первого квадратного трёхчлена \(x^2 — 5x + 7 = 0\), дискриминант \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 — 28 = -3\). Так как \(D < 0\), корней нет: \(x \in \emptyset\). Для второго трёхчлена \(-2x^2 + 3x + 2 = 0\), дискриминант \(D = 3^2 — 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 9 + 16 = 25\). Корни: \(x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 2\). Итоговое решение: \(x \in (-\frac{1}{2}; 2)\).

5) Рассмотрим неравенство \((x — 2)(x^2 — 1)(4x — 5 — 3x^2) < 0\). Для выражения \(4x — 5 — 3x^2 = 0\), дискриминант \(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 16 — 60 = -44\). Так как \(D < 0\), корней нет: \(x \in \emptyset\). Учитывая остальные множители, исключаем точки \(x = -7, x = -1, x = 1, x = 2\). Итоговое решение: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 1) \cup (2; +\infty)\).

6) Для первого трёхчлена \(x^2 — 6x — 7 = 0\), дискриминант \(D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64\). Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 7\). Для второго трёхчлена \(3x — 2x^2 — 4 = 0\), дискриминант \(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23\). Так как \(D < 0\), корней нет: \(x \in \emptyset\). Для третьего трёхчлена \(3x^2 — 10x + 3 = 0\), дискриминант \(D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\). Корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Итоговое решение: \(x \in (-1; 1) \cup (2; 3) \cup (7; +\infty)\).

7) Для квадратного трёхчлена \(x^2 + 5x — 6 = 0\), дискриминант \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). Корни: \(x_1 = -6\), \(x_2 = 1\). Учитывая остальные множители, исключаем точки \(x = -2, x = 1\). Итоговое решение: \(x \in (-\infty; -6) \cup (-2; 1) \cup (1; +\infty)\).

8) Рассмотрим неравенство \((x^4 — 3x^2)(x^4 + x^3 — 8x — 8) < 0\). Для выражения \(x^2(x^2 — 3)(x^3(x + 1) — 8(x + 1)) > 0\), исключаем точки \(x = 0, x = -\sqrt{3}, x = -1, x = \sqrt{3}, x = 2\). Итоговое решение: \(x \in (-\infty; -2) \cup (-\sqrt{3}; -1) \cup (1; \sqrt{3}) \cup (2; +\infty)\).