ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 9.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{1}{x} < 1\);

2) \(\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}\);

3) \(\frac{x-1}{x-1} < 2\);

4) \(\frac{1}{3x+7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{x+1}\).

1) \( \frac{1}{x} < 1 \)
Преобразуем неравенство: \( x — 1 > 0 \), тогда \( x < 0 \) или \( x > 1 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).

2) \( \frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3} \)
Преобразуем: \( \frac{3(x+2) — (x-3)}{(x+2)(x-3)} > 0 \), получаем \( \frac{2x+9}{(x+2)(x-3)} > 0 \).
Решаем: \( x \in \left(-\frac{9}{2}; -2\right) \cup (3; +\infty) \).

3) \( \frac{x-1}{x} < \frac{x+1}{x-1} \)
Преобразуем: \( \frac{(x+1)(x) — (x)(x-1)}{x(x-1)} > 0 \), получаем \( \frac{-2x^2 — x + 1}{x(x-1)} < 0 \).
Находим корни: \( x \in (-\infty; -1) \cup (0; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \).

4) \( \frac{2x-5}{x^2-6x-7} < \frac{1}{x-3} \)
Преобразуем: \( \frac{(2x-5)(x-3) — (x^2-6x-7)}{(x+1)(x-3)(x-7)} < 0 \), получаем \( \frac{x^2 — 5x + 22}{(x+1)(x-3)(x-7)} < 0 \).
Решаем: \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; 7) \).

5) \( \frac{7}{x^2-5x+6} + \frac{9}{x-3} < -1 \)
Преобразуем: \( \frac{7+9(x-2)+(x^2-5x+6)}{(x-2)(x-3)} < 0 \), получаем \( \frac{x^2+4x-5}{(x-2)(x-3)} < 0 \).
Решаем: \( x \in (-5; 1) \cup (2; 3) \).

6) \( \frac{2}{3x+7} < \frac{1}{x+3} — \frac{1}{x+1} \)
Преобразуем: \( \frac{2(x+3)(x+1)-(3x+7)(x+1)+(3x+7)(x+3)}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0 \), получаем \( \frac{(x+5)(x+2)}{(x+3)(3x+7)(x+1)} < 0 \).
Решаем: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -\frac{7}{3}) \cup (-2; -1) \).

1) Рассмотрим неравенство \( \frac{1}{x} < 1 \). Преобразуем его: \( \frac{1}{x} — 1 < 0 \), приведем к общему знаменателю: \( \frac{1 — x}{x} < 0 \). Числитель \( 1 — x = 0 \) при \( x = 1 \), знаменатель \( x = 0 \). Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Определим знаки в интервалах: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 1) \), \( (1; +\infty) \). В интервале \( (-\infty; 0) \): \( \frac{1 — x}{x} > 0 \), в \( (0; 1) \): \( \frac{1 — x}{x} < 0 \), в \( (1; +\infty) \): \( \frac{1 — x}{x} > 0 \). Учитывая строгую неравенство, решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).

2) Дано \( \frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3} \). Преобразуем: \( \frac{1}{x+2} — \frac{3}{x-3} < 0 \), приводим к общему знаменателю: \( \frac{(x-3) — 3(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0 \), упрощаем числитель: \( \frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)} < 0 \). Критические точки: \( x = -\frac{9}{2} \), \( x = -2 \), \( x = 3 \). Исследуем знаки на интервалах: \( (-\infty; -\frac{9}{2}) \), \( (-\frac{9}{2}; -2) \), \( (-2; 3) \), \( (3; +\infty) \). В интервале \( (-\infty; -\frac{9}{2}) \): дробь положительна, в \( (-\frac{9}{2}; -2) \): дробь отрицательна, в \( (-2; 3) \): дробь положительна, в \( (3; +\infty) \): дробь отрицательна. Решение: \( x \in \left(-\frac{9}{2}; -2\right) \cup (3; +\infty) \).

3) Рассмотрим \( \frac{x-1}{x} < \frac{x+1}{x-1} \). Преобразуем: \( \frac{x-1}{x} — \frac{x+1}{x-1} < 0 \), приводим к общему знаменателю: \( \frac{(x-1)(x-1) — x(x+1)}{x(x-1)} < 0 \), упрощаем числитель: \( \frac{-2x^2 — x + 1}{x(x-1)} < 0 \). Критические точки: \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{2} \), \( x = 1 \). Исследуем знаки на интервалах: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 0) \), \( (0; \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}; 1) \), \( (1; +\infty) \). Решение: \( x \in (-\infty; -1) \cup (0; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \).

4) Дано \( \frac{2x-5}{x^2-6x-7} < \frac{1}{x-3} \). Преобразуем: \( \frac{2x-5}{x^2-6x-7} — \frac{1}{x-3} < 0 \), приводим к общему знаменателю: \( \frac{(2x-5)(x-3) — (x^2-6x-7)}{(x+1)(x-3)(x-7)} < 0 \), упрощаем числитель: \( \frac{x^2 — 5x + 22}{(x+1)(x-3)(x-7)} < 0 \). Критические точки: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = 7 \). Исследуем знаки на интервалах: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 3) \), \( (3; 7) \), \( (7; +\infty) \). Решение: \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; 7) \).

5) Рассмотрим \( \frac{7}{x^2-5x+6} + \frac{9}{x-3} < -1 \). Преобразуем: \( \frac{7}{(x-2)(x-3)} + \frac{9}{x-3} + 1 < 0 \), приводим к общему знаменателю: \( \frac{7 + 9(x-2) + (x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} < 0 \), упрощаем числитель: \( \frac{x^2+4x-5}{(x-2)(x-3)} < 0 \). Критические точки: \( x = -5 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = 3 \). Исследуем знаки на интервалах: \( (-\infty; -5) \), \( (-5; 1) \), \( (1; 2) \), \( (2; 3) \), \( (3; +\infty) \). Решение: \( x \in (-5; 1) \cup (2; 3) \).

6) Дано \( \frac{2}{3x+7} < \frac{1}{x+3} — \frac{1}{x+1} \). Преобразуем: \( \frac{2}{3x+7} — \frac{(x+1)-(x+3)}{(x+3)(x+1)} < 0 \), приводим к общему знаменателю: \( \frac{2(x+3)(x+1)-(3x+7)(x+1)+(3x+7)(x+3)}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0 \), упрощаем числитель: \( \frac{(x+5)(x+2)}{(3x+7)(x+3)(x+1)} < 0 \). Критические точки: \( x = -5 \), \( x = -2 \), \( x = -\frac{7}{3} \), \( x = -3 \), \( x = -1 \). Исследуем знаки на интервалах: \( (-\infty; -5) \), \( (-5; -3) \), \( (-3; -\frac{7}{3}) \), \( (-\frac{7}{3}; -2) \), \( (-2; -1) \), \( (-1; +\infty) \). Решение: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -\frac{7}{3}) \cup (-2; -1) \).