ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функции \(f\) и \(g\) являются взаимно обратимыми:

1) \(f(x) = 4x + 2, g(x) = \frac{x-1}{4}\);

2) \(f(x) = (x — 3)^2, D = [3; +\infty), g(x) = \sqrt{x} + 3\).

Доказать, что функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны:

1) \(f(x) = 4x + 2\), \(g(x) = \frac{x}{4} — \frac{1}{2}\).

Пусть \(f(x_0) = y_0\), тогда \(y_0 = 4x_0 + 2\).

Проверим, что \(g(y_0) = x_0\):

\(g(y_0) = \frac{4x_0 + 2}{4} — \frac{1}{2} = x_0 + \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = x_0\).

2) \(f(x) = (x — 3)^2\), \(D(f) = [3; +\infty)\), \(g(x) = \sqrt{x} + 3\).

Пусть \(f(x_0) = y_0\), тогда \(y_0 = (x_0 — 3)^2\).

Проверим, что \(g(y_0) = x_0\):

\(g(y_0) = \sqrt{(x_0 — 3)^2} + 3 = |x_0 — 3| + 3\).

Так как \(x_0 \geq 3\), то \(|x_0 — 3| = x_0 — 3\), значит

\(g(y_0) = x_0 — 3 + 3 = x_0\).

1) Рассмотрим функции \(f(x) = 4x + 2\) и \(g(x) = \frac{x}{4} — \frac{1}{2}\). Пусть \(x_0\) — произвольное число из области определения функции \(f\). Тогда вычислим значение \(y_0 = f(x_0)\), то есть \(y_0 = 4x_0 + 2\).

Проверим, что \(g(y_0) = x_0\). Подставим \(y_0\) в функцию \(g\):

\(g(y_0) = g(4x_0 + 2) = \frac{4x_0 + 2}{4} — \frac{1}{2} = x_0 + \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = x_0\).

Таким образом, \(g(f(x_0)) = x_0\).

Теперь проверим обратное: \(f(g(x)) = x\). Пусть \(x\) — произвольное число из области определения функции \(g\). Вычислим:

\(f(g(x)) = f\left(\frac{x}{4} — \frac{1}{2}\right) = 4 \left(\frac{x}{4} — \frac{1}{2}\right) + 2 = x — 2 + 2 = x\).

Следовательно, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.

2) Рассмотрим функции \(f(x) = (x — 3)^2\) с областью определения \(D(f) = [3; +\infty)\) и \(g(x) = \sqrt{x} + 3\) с областью определения \(D(g) = [0; +\infty)\).

Пусть \(x_0 \geq 3\). Тогда вычислим \(y_0 = f(x_0) = (x_0 — 3)^2\).

Проверим, что \(g(y_0) = x_0\). Подставим \(y_0\) в функцию \(g\):

\(g(y_0) = \sqrt{(x_0 — 3)^2} + 3 = |x_0 — 3| + 3\).

Поскольку \(x_0 \geq 3\), то \(|x_0 — 3| = x_0 — 3\). Значит,

\(g(y_0) = x_0 — 3 + 3 = x_0\).

Теперь проверим обратное: \(f(g(x)) = x\) для \(x \geq 0\):

\(f(g(x)) = f(\sqrt{x} + 3) = (\sqrt{x} + 3 — 3)^2 = (\sqrt{x})^2 = x\).

Таким образом, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.