ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 15 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) система уравнений

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x — y = a \end{cases}\)

имеет единственное решение?

А) \(a = 5\)

В) \(a = -5\) или \(a = 5\)

Б) \(a = 5\sqrt{2}\)

Г) \(a = -5\sqrt{2}\) или \(a = 5\sqrt{2}\)

Из второго уравнения \(x — y = a\) выразим \(y = x — a\).

Подставим в первое уравнение: \(x^2 + (x — a)^2 = 25\).

Раскроем скобки: \(x^2 + x^2 — 2ax + a^2 = 25\).

Сложим: \(2x^2 — 2ax + a^2 — 25 = 0\).

Для единственного решения дискриминант равен нулю:

\(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 25) = 0\).

Вычислим: \(4a^2 — 8a^2 + 200 = 0\).

Получаем: \(-4a^2 + 200 = 0\), значит \(4a^2 = 200\).

Отсюда \(a^2 = 50\), значит \(a = \pm \sqrt{50} = \pm 5 \sqrt{2}\).

Ответ: \(a = -5 \sqrt{2}\) или \(a = 5 \sqrt{2}\).

1. Рассмотрим систему уравнений: \(x^2 + y^2 = 25\) и \(x — y = a\). Во втором уравнении нам нужно выразить одну переменную через другую, чтобы подставить в первое уравнение. Выразим \(y\) через \(x\) и \(a\): \(y = x — a\). Это значит, что значение \(y\) зависит от \(x\) и параметра \(a\).

2. Теперь подставим выражение \(y = x — a\) в первое уравнение. Получаем \(x^2 + (x — a)^2 = 25\). Раскроем скобки во втором слагаемом: \((x — a)^2 = x^2 — 2ax + a^2\). Тогда уравнение принимает вид \(x^2 + x^2 — 2ax + a^2 = 25\). Объединим подобные члены: \(2x^2 — 2ax + a^2 = 25\).

3. Перенесём число 25 в левую часть уравнения для удобства решения: \(2x^2 — 2ax + a^2 — 25 = 0\). Теперь у нас квадратное уравнение относительно \(x\) с коэффициентами, зависящими от \(a\). Чтобы понять, при каких значениях \(a\) уравнение имеет ровно одно решение, нужно рассмотреть дискриминант.

4. Дискриминант квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) вычисляется по формуле \(D = B^2 — 4AC\). В нашем уравнении \(A = 2\), \(B = -2a\), \(C = a^2 — 25\). Подставим эти значения: \(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 25)\).

5. Вычислим дискриминант: \(D = 4a^2 — 8(a^2 — 25) = 4a^2 — 8a^2 + 200 = -4a^2 + 200\). Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю: \(D = 0\). Значит, \(-4a^2 + 200 = 0\).

6. Решим уравнение относительно \(a^2\): \(4a^2 = 200\), откуда \(a^2 = 50\). Значит, \(a = \pm \sqrt{50} = \pm 5 \sqrt{2}\). Эти значения параметра \(a\) обеспечивают ровно одно решение системы уравнений.