ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1007 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

К сплаву магния и алюминия, содержавшему 15 кг алюминия, добавили 4 кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве повысилось на 12,5 %. Какой была первоначальная масса этого сплава?

Пусть масса сплава была \(x\) кг.
Магния было \(x — 15\) кг.
Добавили 4 кг магния: стало \(x — 11\) кг, масса стала \(x + 4\) кг.

Процент магния увеличился на \(12{,}5\%\):

\(\frac{x — 11}{x + 4} \cdot 100 — \frac{x — 15}{x} \cdot 100 = 12{,}5\)

Упростим:

\(\frac{x — 11}{x + 4} — \frac{x — 15}{x} = 0{,}125\)

\(\frac{(x — 11)x — (x — 15)(x + 4)}{x(x + 4)} = 0{,}125\)

\((x — 11)x — (x^2 — 11x — 60) = x^2 — 11x — x^2 + 11x + 60 = 60\)

\(\frac{60}{x(x + 4)} = 0{,}125\)

\(60 = 0{,}125x(x + 4)\)

\(60 \cdot 8 = x(x + 4)\)

\(480 = x^2 + 4x\)

\(x^2 + 4x — 480 = 0\)

\(D = 4^2 + 4 \cdot 480 = 16 + 1920 = 1936\)

\(x_1 = \frac{-4 — 44}{2} = -24\)
\(x_2 = \frac{-4 + 44}{2} = 20\)

Ответ: \(20\) килограмм.

Пусть масса исходного сплава равна \(x\) кг. В этом сплаве алюминия содержится 15 кг, а остальное составляет магний, то есть магния в исходном сплаве \(x — 15\) кг. Когда к сплаву добавили 4 кг магния, масса магния стала \(x — 15 + 4 = x — 11\) кг, а общая масса сплава увеличилась до \(x + 4\) кг. Важно понять, что добавление магния увеличивает как абсолютное количество магния, так и общую массу, поэтому процентное содержание магния изменяется не только за счет увеличения числителя, но и за счет изменения знаменателя в формуле процента.

Рассчитаем процентное содержание магния до добавления: оно выражается как \(\frac{x — 15}{x} \cdot 100\). После добавления 4 кг магния процентное содержание становится \(\frac{x — 11}{x + 4} \cdot 100\). По условию задачи известно, что процент магния увеличился на \(12{,}5\%\), то есть разность между новым и старым процентом составляет \(12{,}5\). Составим уравнение: \(\frac{x — 11}{x + 4} \cdot 100 — \frac{x — 15}{x} \cdot 100 = 12{,}5\). Разделим обе части на 100, чтобы упростить вычисления: \(\frac{x — 11}{x + 4} — \frac{x — 15}{x} = 0{,}125\).

Чтобы решить это уравнение, приведём обе дроби к общему знаменателю: \(\frac{(x — 11)x — (x — 15)(x + 4)}{x(x + 4)} = 0{,}125\). Раскроем скобки в числителе: \((x — 11)x = x^2 — 11x\) и \((x — 15)(x + 4) = x^2 + 4x — 15x — 60 = x^2 — 11x — 60\). Подставляем в числитель: \(x^2 — 11x — (x^2 — 11x — 60) = x^2 — 11x — x^2 + 11x + 60 = 60\). Получаем уравнение: \(\frac{60}{x(x + 4)} = 0{,}125\). Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \(0{,}125 = \frac{1}{8}\). Перемножим крест-накрест: \(60 \cdot 8 = x(x + 4)\), то есть \(480 = x^2 + 4x\). Перенесём всё в одну сторону: \(x^2 + 4x — 480 = 0\).

Далее решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-4 — 44}{2} = -24\), \(x_2 = \frac{-4 + 44}{2} = 20\). Отрицательное значение массы не имеет смысла, поэтому выбираем положительный корень. Ответ: масса исходного сплава составляет \(20\) кг.