ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1022 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма скольких первых членов арифметической прогрессии 105, 98, 91, … равна нулю?

Дана прогрессия: \(105; 98; 91; \ldots\)
Разность: \(d = 98 — 105 = -7\)
Сумма первых \(n\) членов:
\(S_n = \frac{2 \cdot 105 + (-7)(n-1)}{2} \cdot n = 0\)
\(2 \cdot 105 — 7(n-1) = 210 — 7n + 7 = 217 — 7n\)
\( \frac{217 — 7n}{2} \cdot n = 0\)
\(217 — 7n = 0\)
\(7n = 217\)
\(n = \frac{217}{7} = 31\)

Рассмотрим данную арифметическую прогрессию: её первый член равен \(a_1 = 105\), второй член \(a_2 = 98\). Чтобы найти разность прогрессии, нужно из второго члена вычесть первый: \(d = a_2 — a_1 = 98 — 105 = -7\). Это означает, что каждый следующий член прогрессии уменьшается на 7 по сравнению с предыдущим. Например, третий член будет \(a_3 = a_2 + d = 98 + (-7) = 91\), четвёртый — \(a_4 = 91 — 7 = 84\), и так далее. Таким образом, последовательность выглядит так: \(105, 98, 91, 84, \ldots\).

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\). Подставим значения \(a_1 = 105\) и \(d = -7\) в формулу: \(S_n = \frac{2 \cdot 105 + (-7)(n-1)}{2} \cdot n\). Выполним умножение и раскрытие скобок: \(2 \cdot 105 = 210\), а \((-7)(n-1) = -7n + 7\), поэтому числитель становится \(210 — 7n + 7\). Сложим числа: \(210 + 7 = 217\), значит, формула преобразуется к виду \(S_n = \frac{217 — 7n}{2} \cdot n\).

По условию задачи, сумма должна быть равна нулю, то есть \(S_n = 0\). Так как \(n\) — это количество членов прогрессии, оно не может быть равно нулю, следовательно, приравниваем числитель к нулю: \(217 — 7n = 0\). Решим это уравнение: перенесём \(7n\) вправо и получим \(217 = 7n\), отсюда \(n = \frac{217}{7}\). Выполним деление: \(217 \div 7 = 31\). Таким образом, чтобы сумма членов прогрессии была равна нулю, необходимо взять ровно 31 член, то есть \(n = 31\).