ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1023 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите величины углов выпуклого четырёхугольника, если они образуют арифметическую прогрессию с разностью \(54^\circ\).

Дано: разность \(d = 54^\circ\), сумма углов \(360^\circ\).

Пусть углы: \(a_1\), \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_4 = a_1 + 3d\).

\(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 360^\circ\)

\(4a_1 + 6d = 360^\circ\)

\(4a_1 + 6 \times 54^\circ = 360^\circ\)

\(4a_1 + 324^\circ = 360^\circ\)

\(4a_1 = 360^\circ — 324^\circ = 36^\circ\)

\(a_1 = \frac{36^\circ}{4} = 9^\circ\)

\(a_2 = 9^\circ + 54^\circ = 63^\circ\)

\(a_3 = 63^\circ + 54^\circ = 117^\circ\)

\(a_4 = 117^\circ + 54^\circ = 171^\circ\)

9^\circ, 63^\circ, 117^\circ, 171^\circ

Рассмотрим задачу о нахождении углов четырёхугольника, если известно, что их значения образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d = 54^\circ\), а сумма всех углов равна \(360^\circ\). Обозначим первый угол четырёхугольника как \(a_1\). Тогда остальные углы можно выразить через первый угол и разность: второй угол \(a_2 = a_1 + d\), третий угол \(a_3 = a_1 + 2d\), четвёртый угол \(a_4 = a_1 + 3d\). Это стандартная формула для членов арифметической прогрессии, где каждый следующий угол увеличивается на \(d\) по сравнению с предыдущим.

Сумма всех углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), поэтому составим уравнение: \(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 360^\circ\). Раскроем скобки и соберём все члены с \(a_1\) и \(d\): \(a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d + a_1 + 3d = 360^\circ\). Получаем \(4a_1 + (d + 2d + 3d) = 360^\circ\), то есть \(4a_1 + 6d = 360^\circ\). Теперь подставим известное значение разности \(d = 54^\circ\): \(4a_1 + 6 \times 54^\circ = 360^\circ\). Перемножим и получим \(6 \times 54^\circ = 324^\circ\), следовательно, уравнение принимает вид \(4a_1 + 324^\circ = 360^\circ\). Теперь найдём \(4a_1\): \(4a_1 = 360^\circ — 324^\circ = 36^\circ\). Разделим обе части на 4, чтобы найти первый угол: \(a_1 = \frac{36^\circ}{4} = 9^\circ\).

Теперь вычислим остальные углы по формулам арифметической прогрессии. Второй угол: \(a_2 = a_1 + d = 9^\circ + 54^\circ = 63^\circ\). Третий угол: \(a_3 = a_1 + 2d = 9^\circ + 2 \times 54^\circ = 9^\circ + 108^\circ = 117^\circ\). Четвёртый угол: \(a_4 = a_1 + 3d = 9^\circ + 3 \times 54^\circ = 9^\circ + 162^\circ = 171^\circ\). Проверим сумму: \(9^\circ + 63^\circ + 117^\circ + 171^\circ = 360^\circ\), что соответствует условию задачи. Итак, углы четырёхугольника равны \(9^\circ\), \(63^\circ\), \(117^\circ\), \(171^\circ\).

9^\circ, 63^\circ, 117^\circ, 171^\circ