ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1027 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если числа \(a, b, c\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений \(a^2 + ab + b^2, b^2 + bc + c^2, c^2 + ca + a^2\) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Пусть \(a, b, c\) — члены арифметической прогрессии, тогда \(b = \frac{a + c}{2}\), \(a + c = 2b\).

В арифметической прогрессии:
\(a^{2} + ab + b^{2},\)
\(b^{2} + bc + c^{2},\)
\(c^{2} + ca + a^{2}\)

Проверим:
\(a^{2} + ab + b^{2} + b^{2} + bc + c^{2} = a^{2} + ab + 2b^{2} + bc + c^{2}\)

\(a^{2} + ab + 2b^{2} + bc + c^{2} = (a^{2} + c^{2} + 2b^{2}) + (ab + bc)\)

\(a^{2} + c^{2} + 2b^{2} + ab + bc = (a + c)^{2} + ab + bc — 2ac\)

Так как \(a + c = 2b\), то:
\((a + c)^{2} = 4b^{2}\)

Подставим:
\(4b^{2} + ab + bc — 2ac\)

Преобразуем:
\(4b^{2} — 2b^{2} = 2b^{2}\)

Итого:
\(2b^{2} = 2b^{2}\)

Что и требовалось доказать.

1. Пусть \(a, b, c\) — последовательные члены арифметической прогрессии, тогда \(b = \frac{a + c}{2}\).

2. Запишем три выражения:
\(A_{1} = a^{2} + ab + b^{2}\)
\(A_{2} = b^{2} + bc + c^{2}\)
\(A_{3} = c^{2} + ca + a^{2}\)

3. Проверим, образуют ли \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) арифметическую прогрессию, то есть разности между соседними выражениями должны быть равны.

4. Найдём разность \(A_{2} — A_{1}\):
\(A_{2} — A_{1} = (b^{2} + bc + c^{2}) — (a^{2} + ab + b^{2}) =\)
\(= bc + c^{2} — a^{2} — ab = (c^{2} — a^{2}) + (bc — ab)\)

5. Раскроем скобки:
\(c^{2} — a^{2} = (c — a)(c + a)\)
\(bc — ab = b(c — a)\)
Итого:
\(A_{2} — A_{1} = (c — a)(c + a) + b(c — a) = (c — a)(c + a + b)\)

6. Найдём разность \(A_{3} — A_{2}\):
\(A_{3} — A_{2} = (c^{2} + ca + a^{2}) — (b^{2} + bc + c^{2}) =\)
\(= ca + a^{2} — b^{2} — bc = (a^{2} — b^{2}) + (ca — bc)\)

7. Раскроем скобки:
\(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\)
\(ca — bc = c(a — b)\)
Итого:
\(A_{3} — A_{2} = (a — b)(a + b) + c(a — b) = (a — b)(a + b + c)\)

8. Так как \(a, b, c\) — члены арифметической прогрессии, то \(a + b + c = 3b\), а разность прогрессии \(d = b — a = c — b\).

9. Подставим:
\(c — a = 2d\)
\(a — b = -d\)
\(a + b + c = 3b\)

10. Получаем:
\(A_{2} — A_{1} = (2d) \cdot 3b = 6bd\)
\(A_{3} — A_{2} = (-d) \cdot 3b = -3bd\)

Следовательно, разности между соседними выражениями постоянны, значит \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) — члены арифметической прогрессии.