ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1034 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, а его меньший катет равен \(a\). Найдите площадь треугольника.

\(b = a + d\), \(c = a + 2d\)

\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)

\((a + 2d)^{2} = a^{2} + (a + d)^{2}\)

\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2}\)

\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = 2a^{2} + 2ad + d^{2}\)

\(a^{2} — 2ad — 3d^{2} = 0\)

\(a = 3d\)

\(b = a + d = 3d + d = 4d\)

\(S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 3d \cdot 4d = 6d^{2}\)

\(d = \frac{a}{3}\)

\(S = 6 \left(\frac{a}{3}\right)^{2} = 6 \cdot \frac{a^{2}}{9} = \frac{2a^{2}}{3}\)

1. Пусть меньший катет прямоугольного треугольника равен \(a\). Тогда если стороны образуют арифметическую прогрессию, то второй катет равен \(b = a + d\), а гипотенуза \(c = a + 2d\), где \(d\) — разность прогрессии.

2. По теореме Пифагора: \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). Подставляем значения: \((a + 2d)^{2} = a^{2} + (a + d)^{2}\).

3. Раскрываем скобки: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2}\).

4. Приводим подобные: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = 2a^{2} + 2ad + d^{2}\).

5. Переносим всё в одну сторону: \(a^{2} + 4ad + 4d^{2} — 2a^{2} — 2ad — d^{2} = 0\).

6. Получаем: \(-a^{2} + 2ad + 3d^{2} = 0\), или \(a^{2} — 2ad — 3d^{2} = 0\).

7. Решаем квадратное уравнение относительно \(a\): \(a^{2} — 2ad — 3d^{2} = 0\). По формуле: \(a = 3d\) (так как меньший катет).

8. Тогда \(b = a + d = 3d + d = 4d\), \(c = a + 2d = 3d + 2d = 5d\).

9. Площадь прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 3d \cdot 4d = 6d^{2}\).

10. Выражаем \(d\) через \(a\): \(d = \frac{a}{3}\). Тогда \(S = 6 \left(\frac{a}{3}\right)^{2} = 6 \cdot \frac{a^{2}}{9} = \frac{2a^{2}}{3}\).