ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1035 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму двадцати первых нечётных чисел, при делении которых на 3 остаток равен 1.

Даны числа вида \(6k+1\), где \(k=0,1,2,\ldots,19\). Это арифметическая прогрессия: первый член \(a_1=1\), разность \(d=6\), количество членов \(n=20\).

Сумма первых двадцати членов:
\(S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 10 = 10(2a_1 + 19d)\)

Подставим значения:
\(S_{20} = 10(2 \cdot 1 + 19 \cdot 6) = 10(2 + 114) = 10 \cdot 116 = 1160\)

Ответ: \(1160\)

1. Пусть нечётное число имеет вид \(2n+1\). Требуется, чтобы при делении на 3 остаток равнялся 1: \(2n+1 \equiv 1 \pmod{3}\). Тогда \(2n \equiv 0 \pmod{3}\), значит \(n\) делится на 3, то есть \(n=3k\), где \(k\) — целое число.

2. Подставляем: \(2n+1 = 2 \cdot 3k + 1 = 6k + 1\). Значит, первые двадцать таких чисел: при \(k=0,1,2,\ldots,19\) это \(1, 7, 13, 19, \ldots, 115\).

3. Это арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1=1\), разность \(d=6\), количество членов \(n=20\).

4. Формула суммы первых \(n\) членов: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\).

5. Найдём последний член: \(a_{20} = a_1 + (20-1)d = 1 + 19 \cdot 6 = 1 + 114 = 115\).

6. Подставляем в формулу: \(S_{20} = \frac{1 + 115}{2} \cdot 20 = \frac{116}{2} \cdot 20 = 58 \cdot 20 = 1160\).

7. Ответ: \(1160\)