ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1039 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, если сумма её крайних членов равна 8, а сумма средних равна 10.

\(b_1 + b_4 = 8\), \(b_2 + b_3 = 10\)

\(b_1, b_1 q, b_1 q^2, b_1 q^3\)

\(b_1 + b_1 q^3 = 8\), \(b_1 q + b_1 q^2 = 10\)

\(b_1 (1 + q^3) = 8\), \(b_1 q (1 + q) = 10\)

\(b_1 = \frac{10}{q(1+q)}\)

\(\frac{10}{q(1+q)} (1 + q^3) = 8\)

\(\frac{1 + q^3}{q(1+q)} = \frac{4}{5}\)

\(1 + q^3 = \frac{4}{5} q (1+q)\)

\(1 + q^3 = \frac{4}{5}q + \frac{4}{5}q^2\)

\(5 + 5q^3 = 4q + 4q^2\)

\(5q^3 — 4q^2 — 4q + 5 = 0\)

\(q_1 = \frac{13-5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

\(b_1 = \frac{10}{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{10}{\frac{10}{9}} = 9\)

\(b_2 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6\)

\(b_3 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4\)

\(b_4 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)

\(\frac{8}{3}; 4; 6; 9\)

1. Пусть четыре числа геометрической прогрессии: \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\). Тогда \(b_2 = b_1 q\), \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_4 = b_1 q^3\), где \(q\) — знаменатель прогрессии.

2. По условию задачи: \(b_1 + b_4 = 8\), \(b_2 + b_3 = 10\).

3. Подставим выражения членов прогрессии: \(b_1 + b_1 q^3 = 8\), \(b_1 q + b_1 q^2 = 10\).

4. Вынесем \(b_1\) за скобки: \(b_1 (1 + q^3) = 8\), \(b_1 q (1 + q) = 10\).

5. Выразим \(b_1\) из второго уравнения: \(b_1 = \frac{10}{q(1+q)}\).

6. Подставим найденное значение \(b_1\) в первое уравнение: \(\frac{10}{q(1+q)} (1 + q^3) = 8\).

7. Получим уравнение относительно \(q\): \(\frac{1 + q^3}{q(1+q)} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\).

8. Перенесём всё в одну сторону: \(1 + q^3 = \frac{4}{5}q(1+q)\).

9. Раскроем скобки: \(1 + q^3 = \frac{4}{5}q + \frac{4}{5}q^2\).

10. Перенесём всё в одну сторону и домножим на 5: \(5 + 5q^3 — 4q — 4q^2 = 0\).

11. Преобразуем: \(5q^3 — 4q^2 — 4q + 5 = 0\).

12. Подставим \(q = \frac{2}{3}\) (это корень уравнения): \(b_1 = \frac{10}{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3}} = \frac{10}{\frac{10}{9}} = 9\).

13. Найдём остальные члены прогрессии: \(b_2 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6\), \(b_3 = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4\), \(b_4 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\).

14. Ответ: \(\frac{8}{3}; 4; 6; 9\)