ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 107 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:

1) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);

2) \(x^2 \geq x\) и \(x \geq 1\);

3) \((x+5)^2 < 0\) и \(|x-4| < 0\);

4) \(\sqrt{x} \leq 0\) и \(x^4 \leq 0\).

1) Неравенства: \( \frac{1}{x} < 1 \) и \( x > 1 \).

Первое неравенство: \( \frac{1}{x} < 1 \)
Переносим всё в одну сторону: \( \frac{1}{x} — 1 < 0 \Rightarrow \frac{1 — x}{x} < 0 \).
Значит числитель и знаменатель имеют разные знаки:
\( x < 1 \) и \( x > 0 \) — нет решения,
или \( x > 1 \) и \( x < 0 \) — невозможно,
значит \( x > 1 \).

Ответ: нет.

2) Неравенства: \( x^{2} \geq x \) и \( x \geq 1 \).

Первое неравенство: \( x^{2} \geq x \Rightarrow x^{2} — x \geq 0 \Rightarrow x(x — 1) \geq 0 \).
Решения: \( x \leq 0 \) или \( x \geq 1 \).

Ответ: нет.

3) Неравенства: \( (x + 5)^{2} < 0 \) и \( |x — 4| < 0 \).

Первое неравенство: \( (x + 5)^{2} < 0 \), квадрат не может быть меньше нуля, решений нет.
Второе неравенство: \( |x — 4| < 0 \), модуль не может быть меньше нуля, решений нет.

Ответ: да.

4) Неравенства: \( \sqrt{x} \leq 0 \) и \( x^{4} \leq 0 \).

Первое неравенство: \( \sqrt{x} \leq 0 \Rightarrow x = 0 \).
Второе неравенство: \( x^{4} \leq 0 \Rightarrow x = 0 \).

Ответ: да.

1) Рассмотрим неравенство \( \frac{1}{x} < 1 \). Чтобы решить его, перенесём 1 в левую часть: \( \frac{1}{x} — 1 < 0 \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1 — x}{x} < 0 \). Чтобы дробь была меньше нуля, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Значит либо \( 1 — x > 0 \) и \( x < 0 \), либо \( 1 — x < 0 \) и \( x > 0 \). Первая ситуация невозможна, так как \( x \) не может одновременно быть меньше нуля и при этом \( 1 — x > 0 \) (то есть \( x < 1 \)). Вторая ситуация даёт \( x > 1 \). Значит, множество решений первого неравенства — \( x > 1 \). Второе неравенство — \( x > 1 \) — совпадает с решением первого. Значит, данные неравенства равносильны.

2) Рассмотрим неравенство \( x^{2} \geq x \). Переносим все в одну часть: \( x^{2} — x \geq 0 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x — 1) \geq 0 \). Произведение неотрицательно, если оба множителя неотрицательны или оба неположительны. Значит, либо \( x \geq 1 \), либо \( x \leq 0 \). Второе неравенство — \( x \geq 1 \). Множество решений первого неравенства — объединение двух промежутков \( (-\infty, 0] \cup [1, +\infty) \), а второго — только \( [1, +\infty) \). Значит, эти неравенства не равносильны.

3) Рассмотрим неравенство \( (x + 5)^{2} < 0 \). Квадрат любого числа не может быть меньше нуля, значит решений нет. Второе неравенство — \( |x — 4| < 0 \). Модуль числа всегда неотрицателен, значит он не может быть меньше нуля, решений также нет. Оба неравенства не имеют решений, значит они равносильны.

4) Рассмотрим неравенство \( \sqrt{x} \leq 0 \). Корень квадратный из числа неотрицателен, значит \( \sqrt{x} \leq 0 \) возможно только если \( \sqrt{x} = 0 \), то есть \( x = 0 \). Второе неравенство — \( x^{4} \leq 0 \). Четвёртая степень числа неотрицательна, значит \( x^{4} \leq 0 \) возможно только если \( x^{4} = 0 \), то есть \( x = 0 \). Множество решений одинаковое — \( \{0\} \), значит неравенства равносильны.