ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 142 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) уравнение:

1) \( x^2 + 3x — a = 0 \) не имеет корней;

2) \( 2x^2 — 8x + 5a = 0 \) имеет хотя бы один действительный корень?

1) \(x^2 + 3x — a = 0\), не имеет корней, значит дискриминант \(D < 0\).

\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 9 + 4a < 0\)

\(4a < -9\)

\(a < -\frac{9}{4} = -2,25\)

Ответ: \( (-\infty; -2,25) \)

2) \(2x^2 — 8x + 5a = 0\), существуют корни, значит дискриминант \(D \geq 0\).

\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5a = 64 — 40a \geq 0\)

\(-40a \geq -64\)

\(40a \leq 64\)

\(a \leq \frac{64}{40} = 1,6\)

Ответ: \( (-\infty; 1,6] \)

Рассмотрим уравнение \(x^2 + 3x — a = 0\). Чтобы понять, есть ли у него корни, найдем дискриминант. Формула дискриминанта для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) такая: \(D = b^2 — 4ac\). Здесь \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -a\). Подставим: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 9 + 4a\).

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля: \(9 + 4a < 0\). Решим неравенство: \(4a < -9\), значит \(a < -\frac{9}{4} = -2,25\).

Теперь рассмотрим уравнение \(2x^2 — 8x + 5a = 0\). Найдем его дискриминант. Здесь \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 5a\). Подставим в формулу: \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5a = 64 — 40a\).

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, дискриминант должен быть неотрицательным: \(64 — 40a \geq 0\). Решим неравенство: \(-40a \geq -64\), что равно \(40a \leq 64\), значит \(a \leq \frac{64}{40} = 1,6\).

Ответы: для первого уравнения \(a \in (-\infty; -2,25)\), для второго \(a \in (-\infty; 1,6]\).