ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны три последовательных натуральных числа. Сравните:

1) квадрат среднего из этих чисел и произведение двух других;

2) удвоенный квадрат среднего из этих чисел и сумму квадратов двух других.

Даны натуральные числа: \(a, b = a + 1, c = a + 2\).

1) Сравним \(b^2\) и \(ac\):
\(d = (a + 1)^2 — a(a + 2) = a^2 + 2a + 1 — a^2 — 2a = 1\),
значит \(b^2 > ac\).

2) Сравним \(2b^2\) и \(a^2 + c^2\):
\(d = 2(a + 1)^2 — (a^2 + (a + 2)^2) = 2(a^2 + 2a + 1) — (a^2 + a^2 + 4a + 4)

= 2a^2 + 4a + 2 — 2a^2 — 4a — 4 = -2\),
значит \(2b^2 < a^2 + c^2\).

Даны натуральные числа \(a\), \(b = a + 1\), \(c = a + 2\).

Сначала сравним \(b^2\) и \(ac\). Выразим разность:
\(d = b^2 — ac = (a + 1)^2 — a(a + 2)\).

Раскроем скобки в выражении:
\((a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1\),
\(a(a + 2) = a^2 + 2a\).

Подставим эти выражения в разность:
\(d = a^2 + 2a + 1 — (a^2 + 2a) = a^2 + 2a + 1 — a^2 — 2a = 1\).

Так как \(d = 1 > 0\), то \(b^2 > ac\).

Теперь сравним \(2b^2\) и \(a^2 + c^2\). Найдем разность:
\(d = 2b^2 — (a^2 + c^2) = 2(a + 1)^2 — (a^2 + (a + 2)^2)\).

Раскроем скобки:
\((a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1\),
\((a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4\).

Подставим в разность:
\(d = 2(a^2 + 2a + 1) — (a^2 + a^2 + 4a + 4) = 2a^2 + 4a + 2 — 2a^2 — 4a — 4\).

Выполним вычитание:
\(d = 2a^2 + 4a + 2 — 2a^2 — 4a — 4 = -2\).

Так как \(d = -2 < 0\), то \(2b^2 < a^2 + c^2\).