ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 161 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли такое значение а, при котором не имеет решений не- равенство (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) \(ax > 3x + 4\);

2) \((a^2 — a — 2)x \leq a — 2\)?

1) \( ax > 3x + 4 \)
\( x(a — 3) > 4 \)
Если \( a — 3 = 0 \), то \( a = 3 \) и неравенство решений не имеет.
Ответ: 3.

2) \( (a^2 — a — 2)x \leq a — 2 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
Корни:
\( a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
Если \( a + 1 = 0 \), то \( a = -1 \), тогда \( a — 2 < 0 \) и решений нет.
Ответ: -1.

Рассмотрим первое неравенство \( ax > 3x + 4 \). Переносим все члены с \( x \) влево: \( ax — 3x > 4 \). Выносим \( x \) за скобки: \( x(a — 3) > 4 \).

Чтобы неравенство не имело решений, правая часть должна быть больше нуля, а левая часть не должна принимать значения, которые удовлетворяют неравенству. Если \( a — 3 = 0 \), то левая часть равна нулю, то есть \( 0 \cdot x > 4 \), что невозможно при любом \( x \). Значит, решений нет при \( a = 3 \).

—

Рассмотрим второе неравенство \( (a^2 — a — 2)x \leq a — 2 \). Обозначим \( A = a^2 — a — 2 \), тогда неравенство принимает вид \( A x \leq a — 2 \).

Если \( A = 0 \), то неравенство становится \( 0 \leq a — 2 \). Решим уравнение \( a^2 — a — 2 = 0 \). Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни уравнения: \( a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \), \( a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).

При \( a = -1 \) получаем \( 0 \leq -1 — 2 = -3 \), что неверно, значит решений нет.

При \( a = 2 \) получаем \( 0 \leq 0 \), что верно для всех \( x \).

Если \( A \neq 0 \), то неравенство имеет решения для \( x \) в зависимости от знака \( A \), значит решений нет только при \( a = -1 \).

—

Ответы: для первого неравенства \( a = 3 \), для второго \( a = -1 \).