ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 167 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) \(3\sqrt{98}\) и \(4\sqrt{72}\);

2) \(\frac{1}{2}\sqrt{68}\) и \(\frac{3}{4}\sqrt{45}\);

3) \(\frac{1}{6}\sqrt{108}\) и \(6\sqrt{\frac{1}{12}}\).

\(3\sqrt{98} = \sqrt{9 \cdot 98} = \sqrt{882}\)
\(4\sqrt{72} = \sqrt{16 \cdot 72} = \sqrt{1152}\)
Ответ: \(3\sqrt{98} < 4\sqrt{72}\)

\( \frac{1}{2}\sqrt{68} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 68} = \sqrt{17} \)
\( \frac{4}{3}\sqrt{45} = \sqrt{\frac{16}{9} \cdot 45} = \sqrt{80} \)
Ответ: \( \frac{1}{2}\sqrt{68} < \frac{4}{3}\sqrt{45} \)

\( \frac{1}{6}\sqrt{108} = \sqrt{\frac{1}{36} \cdot 108} = \sqrt{3} \)
\( 6\sqrt{\frac{1}{12}} = \sqrt{36 \cdot \frac{1}{12}} = \sqrt{3} \)
Ответ: \( \frac{1}{6}\sqrt{108} = 6\sqrt{\frac{1}{12}} \)

\(3\sqrt{98} = 3 \times \sqrt{49 \times 2} = 3 \times 7 \times \sqrt{2} = 21\sqrt{2}\)

\(4\sqrt{72} = 4 \times \sqrt{36 \times 2} = 4 \times 6 \times \sqrt{2} = 24\sqrt{2}\)

Сравниваем \(21\sqrt{2}\) и \(24\sqrt{2}\). Так как \(21 < 24\), то \(3\sqrt{98} < 4\sqrt{72}\).

\(\frac{1}{2}\sqrt{68} = \sqrt{\frac{1}{4} \times 68} = \sqrt{17}\)

\(\frac{3}{4}\sqrt{45} = \sqrt{\frac{9}{16} \times 45} = \sqrt{\frac{405}{16}} = \frac{\sqrt{405}}{4}\)

Упростим \(\sqrt{405} = \sqrt{81 \times 5} = 9\sqrt{5}\), значит \(\frac{3}{4}\sqrt{45} = \frac{9\sqrt{5}}{4}\).

Приблизительно \(\sqrt{17} \approx 4.123\), а \(\frac{9\sqrt{5}}{4} \approx \frac{9 \times 2.236}{4} = 5.031\).

Так как \(4.123 < 5.031\), то \(\frac{1}{2}\sqrt{68} < \frac{3}{4}\sqrt{45}\).

\(\frac{1}{6}\sqrt{108} = \sqrt{\frac{1}{36} \times 108} = \sqrt{3}\)

\(6\sqrt{\frac{1}{12}} = 6 \times \sqrt{\frac{1}{12}} = 6 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)

Значит \(\frac{1}{6}\sqrt{108} = 6\sqrt{\frac{1}{12}}\).