ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как изменится — увеличится или уменьшится — правильная дробь \(\frac{a}{b}\), \(a > 0\), \(b > 0\), если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Даны числа: \(a > 0\), \(b > 0\), \(a < b\), \(c > 0\).

Сравним дроби:

\(d = \frac{a + c}{b + c} — \frac{a}{b}\);

Приведём к общему знаменателю:

\(d = \frac{b(a + c) — a(b + c)}{b(b + c)}\);

Раскроем скобки:

\(d = \frac{ab + bc — ab — ac}{b(b + c)}\);

Сократим:

\(d = \frac{bc — ac}{b(b + c)} = \frac{c(b — a)}{b(b + c)}\);

Так как \(c > 0\), \(b — a > 0\), \(b > 0\), \(b + c > 0\), то

\(d > 0\);

Ответ: значение увеличится.

Рассмотрим дробь \(\frac{a}{b}\), где \(a > 0\), \(b > 0\), и \(a < b\). Условие \(a < b\) означает, что числитель меньше знаменателя, то есть дробь является правильной и её значение меньше единицы. Теперь мы увеличиваем числитель и знаменатель на одно и то же положительное число \(c > 0\), получая новую дробь \(\frac{a + c}{b + c}\). Важно понять, как именно изменится значение дроби после такого увеличения. Для этого сравним новую дробь со старой, вычислив разность \(d = \frac{a + c}{b + c} — \frac{a}{b}\).

Чтобы найти разность \(d\), приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением \(b(b + c)\), так как знаменатели исходных дробей — \(b\) и \(b + c\). Тогда разность запишется в виде:
\[
d = \frac{b(a + c) — a(b + c)}{b(b + c)}.
\]
Раскроем скобки в числителе, чтобы упростить выражение:
\[
d = \frac{ab + bc — ab — ac}{b(b + c)}.
\]
Обратите внимание, что слагаемые \(ab\) и \(-ab\) взаимно уничтожаются, поэтому остаётся:
\[
d = \frac{bc — ac}{b(b + c)}.
\]

Далее вынесем общий множитель \(c\) из числителя:
\[
d = \frac{c(b — a)}{b(b + c)}.
\]
Здесь важно отметить, что все величины положительны: \(c > 0\), \(b > 0\), \(b + c > 0\), а также \(b — a > 0\), поскольку \(a < b\). Следовательно, числитель и знаменатель дроби \(d\) положительны, и значит \(d > 0\). Это означает, что новая дробь \(\frac{a + c}{b + c}\) больше исходной \(\frac{a}{b}\).

Таким образом, при увеличении числителя и знаменателя правильной дроби на одно и то же положительное число её значение возрастает. Интуитивно это объясняется тем, что добавление одинакового положительного числа к числителю и знаменателю дроби, у которой числитель меньше знаменателя, приводит к тому, что дробь становится ближе к единице, но при этом увеличивается. Этот результат важен для понимания поведения дробей при равномерном увеличении их частей и часто используется в задачах на сравнение дробей и анализ их изменений.