ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как изменится — увеличится или уменьшится — правильная дробь \(\frac{a}{b}\), \(a > 0\), \(b > 0\), если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Даны числа: \(a > 0\), \(b > 0\), \(a < b\), \(c > 0\).

Сравним дроби:

\(d = \frac{a + c}{b + c} — \frac{a}{b}\);

Приведём к общему знаменателю:

\(d = \frac{b(a + c) — a(b + c)}{b(b + c)}\);

Раскроем скобки:

\(d = \frac{ab + bc — ab — ac}{b(b + c)}\);

Сократим:

\(d = \frac{bc — ac}{b(b + c)} = \frac{c(b — a)}{b(b + c)}\);

Так как \(c > 0\), \(b — a > 0\), \(b > 0\), \(b + c > 0\), то

\(d > 0\);

Ответ: значение увеличится.

Пусть есть дробь \(\frac{a}{b}\), где \(a > 0\), \(b > 0\), и \(a < b\). Мы увеличиваем числитель и знаменатель на одно и то же число \(c > 0\). Тогда новая дробь станет \(\frac{a + c}{b + c}\).

Чтобы понять, как изменится значение дроби, сравним новую дробь со старой: вычислим разность \(d = \frac{a + c}{b + c} — \frac{a}{b}\).

Приведём разность к общему знаменателю: \(d = \frac{b(a + c) — a(b + c)}{b(b + c)}\).

Раскроем скобки в числителе: \(d = \frac{ab + bc — ab — ac}{b(b + c)}\).

Сократим одинаковые слагаемые: \(d = \frac{bc — ac}{b(b + c)}\).

Вынесем \(c\) за скобки в числителе: \(d = \frac{c(b — a)}{b(b + c)}\).

Поскольку \(c > 0\), \(b — a > 0\), \(b > 0\), и \(b + c > 0\), то числитель и знаменатель положительны, значит \(d > 0\).

Это значит, что \(\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}\), то есть значение дроби увеличится.