ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 200 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(\begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3.6; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 2x — 6 < 8, \\ 4 — 4x < 10, \\ 8x — 9 > 3; \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} 0.4 — 8x \geq 3.6, \\ 1.5x — 2 < 4, \\ 4.1x + 10 < 1.6x + 5. \end{cases}\)

1)
\(x < 4\)
\(x > 2\)
\(x < 3,6\)
Ответ: \( (2; 3,6) \).

2)
\(2x — 6 < 8 \Rightarrow 2x < 14 \Rightarrow x < 7\)
\(4 — 4x < 10 \Rightarrow -4x < 6 \Rightarrow 4x > -6 \Rightarrow x > -1,5\)
\(8x — 9 > 3 \Rightarrow 8x > 12 \Rightarrow x > 1,5\)
Ответ: \( (1,5; 7) \).

3)
\(0,4 — 8x \geq 3,6 \Rightarrow -8x \geq 3,2 \Rightarrow 8x \leq -3,2 \Rightarrow x \leq 0,5\)
\(1,5x — 2 < 4 \Rightarrow 1,5x < 6 \Rightarrow x < 4\)
\(4,1x + 10 < 1,6x + 5 \Rightarrow 2,5x < -5 \Rightarrow x < -2\)
Ответ: \( (-\infty; -2) \).

1)
Рассмотрим первое неравенство \(x < 4\). Это значит, что все числа, которые меньше 4, подходят под это условие. Следующее неравенство \(x > 2\) ограничивает множество чисел с другой стороны — теперь \(x\) должен быть больше 2. Таким образом, \(x\) должно быть одновременно больше 2 и меньше 4. Но есть ещё третье неравенство \(x < 3,6\), которое ужесточает верхнюю границу, потому что 3,6 меньше 4. Значит, из двух верхних ограничений \(x < 4\) и \(x < 3,6\) более строгое — \(x < 3,6\). Получаем, что \(x\) должно удовлетворять двум условиям: \(x > 2\) и \(x < 3,6\).

Теперь важно понять, как записать ответ. Пересечение всех трёх неравенств — это интервал чисел, которые одновременно больше 2 и меньше 3,6. Это можно записать интервалом \( (2; 3,6) \), где круглые скобки означают, что границы не включаются.

Итог: множество решений — все числа между 2 и 3,6, не включая сами числа 2 и 3,6. Это и есть ответ \( (2; 3,6) \).

2)
Первое неравенство \(2x — 6 < 8\) решаем по шагам. Сначала прибавим 6 к обеим частям, чтобы избавиться от минуса: \(2x < 14\). Теперь делим обе части на 2, получаем \(x < 7\). Это значит, что \(x\) должно быть меньше 7.

Второе неравенство \(4 — 4x < 10\) решаем так: вычитаем 4 из обеих частей, получаем \(-4x < 6\). Чтобы найти \(x\), делим обе части на -4, при этом знак неравенства меняется на противоположный, получается \(x > -\frac{6}{4} = -1,5\). Значит, \(x\) должно быть больше -1,5.

Третье неравенство \(8x — 9 > 3\) решаем так: прибавляем 9 к обеим частям, получаем \(8x > 12\). Делим на 8, получаем \(x > 1,5\). Это значит, что \(x\) должно быть больше 1,5.

Теперь смотрим на все три условия вместе. Слева самые строгие ограничения — \(x > 1,5\) (т.к. 1,5 больше, чем -1,5), справа \(x < 7\). Значит, \(x\) должно быть больше 1,5 и меньше 7 одновременно. Записываем это как интервал \( (1,5; 7) \).

3)
Первое неравенство \(0,4 — 8x \geq 3,6\) решаем так: вычитаем 0,4 из обеих частей, получаем \(-8x \geq 3,2\). Чтобы найти \(x\), делим обе части на -8, меняя знак неравенства на противоположный, получаем \(x \leq -\frac{3,2}{8} = -0,4\). Значит \(x\) должно быть меньше или равно -0,4.

Второе неравенство \(1,5x — 2 < 4\) решаем так: прибавляем 2 к обеим частям, получаем \(1,5x < 6\). Делим обе части на 1,5, получаем \(x < 4\). Значит \(x\) должно быть меньше 4.

Третье неравенство \(4,1x + 10 < 1,6x + 5\) решаем так: вычитаем \(1,6x\) и 10 из обеих частей, получаем \(2,5x < -5\). Делим обе части на 2,5, получаем \(x < -2\). Значит \(x\) должно быть меньше -2.

Теперь смотрим на все три условия вместе. Самое строгое ограничение слева — \(x < -2\), так как это меньше, чем \(x \leq -0,4\) и \(x < 4\). Значит, все решения удовлетворяют \(x < -2\). Записываем это как интервал \( (-\infty; -2) \).