ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 214 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) наименьшим целым решением системы неравенств

\(\begin{cases} x \geq 6, \\ x > a \end{cases}\) является число 9?

Дана система:
\(x \geq 6\) и \(x > a\).

Наименьшее целое решение — 9, значит:
\(9 \geq 6\) и \(9 > a\), то есть \(a < 9\).

Число 8 не должно быть решением, значит:
\(8 \geq 6\) и \(8 \leq a\), то есть \(a \geq 8\).

Ответ: \(a \in [8; 9)\).

Система неравенств состоит из двух условий: \(x \geq 6\) и \(x > a\). Первое условие говорит, что \(x\) может принимать значения, начиная с 6 и выше, то есть все числа, которые равны 6 или больше. Второе условие требует, чтобы \(x\) было строго больше числа \(a\). Чтобы найти наименьшее целое число, которое удовлетворяет обоим условиям, нужно рассмотреть пересечение этих двух множеств.

Чтобы наименьшим целым решением системы было число 9, необходимо проверить, что число 9 действительно подходит под оба условия. Очевидно, что \(9 \geq 6\), это условие выполняется. Далее, чтобы \(9\) удовлетворяло второму условию, должно быть \(9 > a\), то есть \(a\) должно быть меньше 9. Это значит, что все числа \(a\), меньшие 9, подходят для второго условия в отношении числа 9.

Однако, чтобы именно 9 было наименьшим решением, число 8 не должно удовлетворять системе. Проверим число 8: оно подходит под первое условие, так как \(8 \geq 6\). Чтобы 8 не было решением, оно не должно удовлетворять второму условию, то есть не должно быть \(8 > a\). Значит, должно быть \(8 \leq a\). Таким образом, \(a\) должно быть не меньше 8, чтобы число 8 не подходило под систему.

Соединив оба требования, получаем двойное неравенство: \(8 \leq a < 9\). Это означает, что \(a\) должно находиться в интервале от 8 включительно до 9, не включая 9. В таком случае наименьшим целым решением системы будет число 9, потому что все числа меньше 9, начиная с 6, не удовлетворяют второму условию.

Ответ: \(a \in [8; 9)\).