ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 218 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) один из корней уравнения \(3x^2 — (2a + 5)x + 2 + a — a^2 = 0\) меньше \(-2\), а другой — больше 3?

Дано уравнение \(3x^2 — (2a + 5)x + 2 + a — a^2 = 0\). Найдём дискриминант:
\(D = (2a + 5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (2 + a — a^2) = 4a^2 + 20a + 25 — 24 — 12a + 12a^2 =\)
\(= 16a^2 + 8a + 1 = (4a + 1)^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{2a + 5 — (4a + 1)}{6} = \frac{2 — a}{3}\),
\(x_2 = \frac{2a + 5 + (4a + 1)}{6} = a + 1\).

Условие: \(x_1 < -2\), \(x_2 > 3\).

Решаем:
\(a + 1 > 3 \Rightarrow a > 2\),
\(\frac{2 — a}{3} < -2 \Rightarrow 2 — a < -6 \Rightarrow a > 8\).

Второе решение: \(x_1 > 3\), \(x_2 < -2\).

Решаем:
\(a + 1 < -2 \Rightarrow a < -3\),
\(\frac{2 — a}{3} > 3 \Rightarrow 2 — a > 9 \Rightarrow a < -7\).

Ответ: \(a \in (-\infty, -7) \cup (8, +\infty)\).

Дано квадратное уравнение \(3x^2 — (2a + 5)x + 2 + a — a^2 = 0\). Коэффициенты: \(A = 3\), \(B = -(2a + 5)\), \(C = 2 + a — a^2\).

Вычислим дискриминант по формуле \(D = B^2 — 4AC\). Подставим значения:
\(D = (2a + 5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (2 + a — a^2)\).

Раскроем скобки:
\((2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25\),
\(4 \cdot 3 \cdot (2 + a — a^2) = 12 \cdot (2 + a — a^2) = 24 + 12a — 12a^2\).

Подставим и упростим:
\(D = 4a^2 + 20a + 25 — 24 — 12a + 12a^2 = 4a^2 + 20a + 25 — 24 — 12a + 12a^2\).

Сложим подобные члены:
\(4a^2 + 12a^2 = 16a^2\),
\(20a — 12a = 8a\),
\(25 — 24 = 1\).

Итого:
\(D = 16a^2 + 8a + 1\).

Обратим внимание, что \(D = (4a + 1)^2\), значит дискриминант всегда неотрицательный, и корни существуют.

Найдём корни по формуле:
\(x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{2a + 5 \pm (4a + 1)}{6}\).

Вычислим оба корня:
\(x_1 = \frac{2a + 5 — (4a + 1)}{6} = \frac{2a + 5 — 4a — 1}{6} = \frac{-2a + 4}{6} = \frac{2 — a}{3}\),
\(x_2 = \frac{2a + 5 + 4a + 1}{6} = \frac{6a + 6}{6} = a + 1\).

Теперь нужно, чтобы один корень был меньше \(-2\), а другой больше \(3\). Рассмотрим два варианта.

Первый вариант:
\(x_1 < -2\) и \(x_2 > 3\).

Подставим выражения для корней:
\(\frac{2 — a}{3} < -2\),
\(a + 1 > 3\).

Решим второе неравенство:
\(a + 1 > 3 \Rightarrow a > 2\).

Решим первое неравенство:
\(\frac{2 — a}{3} < -2 \Rightarrow 2 — a < -6 \Rightarrow -a < -8 \Rightarrow a > 8\).

Из двух условий для \(a\) должно выполняться оба, значит
\(a > 8\).

Второй вариант:
\(x_1 > 3\) и \(x_2 < -2\).

Подставим:
\(\frac{2 — a}{3} > 3\),
\(a + 1 < -2\).

Решим второе неравенство:
\(a + 1 < -2 \Rightarrow a < -3\).

Решим первое:
\(\frac{2 — a}{3} > 3 \Rightarrow 2 — a > 9 \Rightarrow -a > 7 \Rightarrow a < -7\).

Из двух условий для \(a\) должно выполняться оба, значит
\(a < -7\).

Ответ:
\(a \in (-\infty, -7) \cup (8, +\infty)\).