ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 250 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения:

1) \((10^3)^2 \cdot 10^{-8}\);

2) \(\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}}\);

3) \(\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}}\);

4) \(\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}\).

1) \((10^3)^2 \cdot 10^{-8} = 10^{6} \cdot 10^{-8} = 10^{-2} = 0,01\);

2) \(\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}} = \frac{(5^2)^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}} = \frac{5^{-6} \cdot 5^3}{5^{-5}} = \frac{5^{-3}}{5^{-5}} = 5^{-3+5} = 5^{2} = 25\);

3) \(\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}} = \frac{(3^4)^{-2} \cdot 3^5}{(3^2)^{-2}} = \frac{3^{-8} \cdot 3^5}{3^{-4}} = \frac{3^{-3}}{3^{-4}} = 3^{-3+4} = 3^{1} = 3\);

4) \(\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}} = \frac{(2^{-3})^3 \cdot (2^5)^2}{(2^{-1})^{-2}} = \frac{2^{-9} \cdot 2^{10}}{2^{2}} = \frac{2^{1}}{2^{2}} = 2^{1-2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\).

1) \((10^3)^2 \cdot 10^{-8}\). Сначала возведём степень в степень: \( (10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6 \). Затем перемножим степени с одинаковым основанием: \( 10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{6 + (-8)} = 10^{-2} \). Значит, результат равен \( 10^{-2} = 0,01 \).

2) \(\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}}\). Представим число 25 через степень пятёрки: \( 25 = 5^2 \), тогда \( 25^{-3} = (5^2)^{-3} = 5^{-6} \). Подставим в выражение: \( \frac{5^{-6} \cdot 5^3}{5^{-5}} \). Перемножим в числителе: \( 5^{-6 + 3} = 5^{-3} \). Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{5^{-3}}{5^{-5}} = 5^{-3 — (-5)} = 5^{2} \). Ответ: \( 25 \).

3) \(\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}}\). Представим 81 и 9 через степень тройки: \( 81 = 3^4 \), \( 9 = 3^2 \). Тогда \( 81^{-2} = (3^4)^{-2} = 3^{-8} \), \( 9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{-4} \). Подставим: \( \frac{3^{-8} \cdot 3^5}{3^{-4}} \). Перемножим в числителе: \( 3^{-8 + 5} = 3^{-3} \). Деление степеней: \( \frac{3^{-3}}{3^{-4}} = 3^{-3 — (-4)} = 3^{1} \). Ответ: \( 3 \).

4) \(\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}\). Представим числа через степени двойки: \( 0,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3} \), \( 32 = 2^5 \), \( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Тогда \( 0,125^3 = (2^{-3})^3 = 2^{-9} \), \( 32^2 = (2^5)^2 = 2^{10} \), \( 0,5^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{2} \). Подставим: \( \frac{2^{-9} \cdot 2^{10}}{2^{2}} \). Перемножим в числителе: \( 2^{-9 + 10} = 2^{1} \). Деление степеней: \( \frac{2^{1}}{2^{2}} = 2^{1 — 2} = 2^{-1} \). Ответ: \( \frac{1}{2} \).