ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 253 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Натуральное число \(n\) имеет ровно 100 различных натуральных делителей (включая 1 и \(n\)). Найдите их произведение.

Если натуральное число \( k \) является делителем числа \( n \), то число \( \frac{n}{k} \) также является делителем числа \( n \). Значит произведение 100 делителей:

\( D = 1 \cdot k_2 \cdot k_3 \cdot \ldots \cdot k_{99} \cdot n \);

\( D = 1 \cdot n \cdot k_2 \cdot \frac{n}{k_2} \cdot \ldots \cdot k_{50} \cdot \frac{n}{k_{50}} \);

\( D = n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^{50} \).

1. Пусть \( n \) — натуральное число, у которого ровно 100 различных натуральных делителей. Обозначим эти делители так: \( d_1, d_2, d_3, \ldots, d_{100} \), где \( d_1 = 1 \), а \( d_{100} = n \).

2. Делители числа \( n \) можно расположить в порядке возрастания: \( d_1 < d_2 < \ldots < d_{100} \).

3. Из свойства делителей известно, что для каждого делителя \( d_i \) существует парный делитель \( d_{101 — i} \), такой что произведение этих двух делителей равно \( n \), то есть \( d_i \cdot d_{101 — i} = n \).

4. Таким образом, делители можно разбить на 50 пар: \( (d_1, d_{100}), (d_2, d_{99}), \ldots, (d_{50}, d_{51}) \), и произведение каждой пары равно \( n \).

5. Произведение всех делителей \( D \) будет равно произведению всех пар, то есть \( D = n \cdot n \cdot \ldots \cdot n \), где \( n \) умножается 50 раз.

6. Значит, произведение всех делителей равно \( D = n^{50} \).

7. Этот результат справедлив для любого натурального числа с чётным количеством делителей.

8. В нашем случае, так как количество делителей равно 100, то произведение всех делителей будет равно \( n^{\frac{100}{2}} = n^{50} \).

9. Таким образом, ответ на задачу: произведение всех 100 делителей числа \( n \) равно \( n^{50} \).

10. Итог: \( D = n^{50} \).