ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 263 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) \(y = -4x + 8\);
2) \(y = -x^2 — 1\);
3) \(y = \sqrt{x + 2}\).

Промежутки знакопостоянства:

1) \(y = -4x + 8\);

Значения положительны:

\(-4x + 8 > 0, \quad 4x < 8, \quad x < 2;\) Ответ: \(y > 0\) при \(x < 2;\) \(y < 0\) при \(x > 2.\)

2) \(y = -x^{2} — 1;\)

Значения положительны:

\(-x^{2} — 1 > 0, \quad x^{2} + 1 < 0;\) \(x^{2} < -1, \quad x \in \emptyset;\) Ответ: \(y > 0\) при \(x \in \emptyset;\)

\(y < 0\) при \(x \in \mathbb{R}.\) 3) \(y = \sqrt{x + 2};\) Значения положительны: \(\sqrt{x + 2} > 0, \quad x + 2 > 0;\)

\(x \in \mathbb{R}, \quad x > -2;\)

Ответ: \(y > 0\) при \(x > -2;\)

\(y < 0\) при \(x \in \emptyset.\)

1) Рассмотрим функцию \(y = -4x + 8\). Чтобы найти, при каких значениях \(x\) функция положительна, решим неравенство \(-4x + 8 > 0\). Переносим 8 вправо: \(-4x > -8\). Делим обе части на -4, при этом знак неравенства меняется: \(x < 2\). Значит, функция положительна при \(x < 2\). При \(x = 2\) функция равна нулю, а при \(x > 2\) функция отрицательна.

2) Рассмотрим функцию \(y = -x^{2} — 1\). Чтобы найти, когда функция положительна, решим неравенство \(-x^{2} — 1 > 0\). Переносим \(-1\) вправо: \(-x^{2} > 1\). Умножаем на \(-1\) и меняем знак неравенства: \(x^{2} < -1\). Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет, то есть \(x \in \emptyset\). Значит, функция никогда не положительна, а всегда отрицательна для всех \(x \in \mathbb{R}\). 3) Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{x + 2}\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(x + 2 \geq 0\). Отсюда \(x \geq -2\). Поскольку квадратный корень не может быть отрицательным, функция \(y\) положительна при \(x > -2\) и равна нулю при \(x = -2\). Значит, \(y > 0\) при \(x > -2\), \(y = 0\) при \(x = -2\), а \(y < 0\) не бывает.