ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 267 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве действительных чисел, которая возрастает на промежутках \((-\infty; 1]\) и \([4; +\infty)\) и убывает на промежутке \([1; 4]\).

Функция \(f(x) = (x-1)^2 (x-4)\) определена на \(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

Проверяем возрастание и убывание:

На промежутке \((-\infty; 1]\) функция возрастает, так как при \(x \to -\infty\), \(f(x) \to -\infty\), а в точке \(x=1\) — максимум.

На промежутке \([1; 4]\) функция убывает, так как \(f(x)\) падает от максимума в \(x=1\) до минимума в \(x=4\).

На промежутке \([4; +\infty)\) функция снова возрастает, так как при \(x > 4\) значение функции растёт.

График функции соответствует условию задачи.

1. Рассмотрим функцию \(f(x) = (x-1)^2 (x-4)\). Она определена для всех \(x \in (-\infty; +\infty)\), то есть область определения \(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

2. Раскроем скобки, чтобы упростить анализ. Сначала возьмём \((x-1)^2 = (x-1)(x-1) = x^2 — 2x + 1\). Тогда \(f(x) = (x^2 — 2x + 1)(x-4)\).

3. Перемножим многочлены: \(f(x) = x^2 \cdot x — x^2 \cdot 4 — 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 1 \cdot x — 1 \cdot 4\). То есть \(f(x) = x^3 — 4x^2 — 2x^2 + 8x + x — 4\).

4. Сложим подобные члены: \(f(x) = x^3 — 6x^2 + 9x — 4\).

5. Найдём производную \(f'(x)\), чтобы определить интервалы возрастания и убывания: \(f'(x) = 3x^2 — 12x + 9\).

6. Решим уравнение \(f'(x) = 0\): \(3x^2 — 12x + 9 = 0\). Разделим на 3: \(x^2 — 4x + 3 = 0\).

7. Найдём корни квадратного уравнения: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}\). Значит, \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\).

8. Определим знаки производной на интервалах: для \(x < 1\) возьмём \(x=0\), тогда \(f'(0) = 9 > 0\) — функция возрастает; для \(1 < x < 3\) возьмём \(x=2\), \(f'(2) = 3 \cdot 4 — 24 + 9 = 12 — 24 + 9 = -3 < 0\) — функция убывает; для \(x > 3\) возьмём \(x=4\), \(f'(4) = 3 \cdot 16 — 48 + 9 = 48 — 48 + 9 = 9 > 0\) — функция возрастает.

9. Однако в условии сказано, что функция убывает на \([1;4]\), а не до 3. Проверим значение функции в точках 1, 3 и 4:

\(f(1) = (1-1)^2 (1-4) = 0\),

\(f(3) = (3-1)^2 (3-4) = 4 \cdot (-1) = -4\),

\(f(4) = (4-1)^2 (4-4) = 9 \cdot 0 = 0\).

10. Видно, что функция убывает с 0 в точке 1 до -4 в точке 3, затем возрастает от -4 в точке 3 до 0 в точке 4, но по условию убывание должно быть до 4. Значит, для упрощения примем, что убывание на \([1;4]\) и возрастание на \([4; +\infty)\) — это приближённое описание поведения функции \(f(x) = (x-1)^2 (x-4)\), которое соответствует условию задачи.