ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 269 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -1, \\ x^4, \text{ если } -1 \le x \le 1, \\ \frac{4}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}\)

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Функция задана так:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -1, \\ x^4, \text{ если } -1 \le x \le 1, \\ \frac{4}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases} \)

Нули функции: \(x = 0\).

Функция положительна при \(x \in (0; +\infty)\).

Функция отрицательна при \(x \in (-\infty; 0)\).

Функция возрастает на \([-1; 1]\).

Функция убывает на \((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\).

1. Функция задана формулой
\( f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -1, \\ x^{4}, \text{ если } -1 \le x \le 1, \\ \frac{4}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases} \)

2. Найдём нули функции — точки, где \( f(x) = 0 \).
Для \( x < -1 \) и \( x > 1 \) функция равна \( \frac{4}{x} \), эта дробь не равна нулю, так как числитель 4, а знаменатель не бесконечен.
Для \( -1 \le x \le 1 \) функция равна \( x^{4} \). При \( x = 0 \), \( f(0) = 0^{4} = 0 \). Значит, единственный нуль — \( x = 0 \).

3. Определим знаки функции на промежутках.
Для \( x < -1 \), \( f(x) = \frac{4}{x} \). При отрицательном \( x \) дробь положительной числитель делится на отрицательное число, значит \( f(x) < 0 \). Для \( -1 \le x \le 1 \), \( f(x) = x^{4} \ge 0 \), кроме нуля, где равно 0. Для \( x > 1 \), \( f(x) = \frac{4}{x} > 0 \), так как и числитель, и знаменатель положительны.

4. Найдём промежутки возрастания и убывания.
Для \( x < -1 \), функция \( f(x) = \frac{4}{x} \) убывает, так как при увеличении \( x \) (движении к -1) значение функции уменьшается. Для \( -1 \le x \le 1 \), \( f(x) = x^{4} \). Эта функция возрастает на этом промежутке, так как при увеличении \( |x| \) значение \( x^{4} \) растёт, а на интервале от -1 до 1 с учётом симметрии она возрастает от 0 к 1. Для \( x > 1 \), \( f(x) = \frac{4}{x} \) убывает, так как при увеличении \( x \) значение функции уменьшается.

5. Итог: