ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 275 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Функция \(y = f(x)\) возрастает на некотором промежутке. Возрастает или убывает на этом промежутке функция (ответ обоснуйте):
1) \(y = \frac{1}{2}f(x)\);
2) \(y = -2f(x)\)?

Функция \(f\) возрастает.

1) \(y = \frac{1}{2} f(x)\);

Если \(x_2 > x_1\), то \(f(x_2) > f(x_1)\).

Умножим обе части на \(\frac{1}{2}\) (положительное число):

\(\frac{1}{2} f(x_2) > \frac{1}{2} f(x_1)\).

Ответ: возрастает.

2) \(y = -2 f(x)\);

Если \(x_2 > x_1\), то \(f(x_2) > f(x_1)\).

Умножим обе части на \(-2\) (отрицательное число), знак неравенства изменится:

\(-2 f(x_2) < -2 f(x_1)\). Ответ: убывает.

1) Рассмотрим функцию \(f\), которая возрастает на некотором промежутке. Это значит, что если взять любые две точки \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка, причем \(x_2 > x_1\), то значения функции в этих точках удовлетворяют неравенству \(f(x_2) > f(x_1)\). Это основное свойство возрастающей функции — при увеличении аргумента значение функции тоже увеличивается.

Теперь рассмотрим функцию \(y = \frac{1}{2} f(x)\). Здесь мы взяли исходную функцию \(f(x)\) и умножили её на число \(\frac{1}{2}\), которое положительно и меньше единицы. Если подставить наши точки \(x_1\) и \(x_2\), то получим \(y(x_2) = \frac{1}{2} f(x_2)\) и \(y(x_1) = \frac{1}{2} f(x_1)\). Поскольку \(f(x_2) > f(x_1)\), то и при умножении на положительное число \(\frac{1}{2}\) это неравенство сохраняется, то есть \(\frac{1}{2} f(x_2) > \frac{1}{2} f(x_1)\). Следовательно, функция \(y = \frac{1}{2} f(x)\) тоже возрастает на том же промежутке.

2) Теперь рассмотрим функцию \(y = -2 f(x)\). Здесь исходную функцию умножили на число \(-2\), которое отрицательно. Возьмём те же точки \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_2 > x_1\), и знаем, что \(f(x_2) > f(x_1)\). Подставим в новую функцию: \(y(x_2) = -2 f(x_2)\) и \(y(x_1) = -2 f(x_1)\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому из \(f(x_2) > f(x_1)\) получаем \(-2 f(x_2) < -2 f(x_1)\). Это означает, что функция \(y = -2 f(x)\) убывает на том же промежутке, так как при увеличении \(x\) значение функции уменьшается. Таким образом, умножение возрастающей функции на положительное число сохраняет её возрастание, а умножение на отрицательное число меняет возрастание на убывание.