ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 279 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) функция \(f(x) = (a — 1)x^2 + 2ax + 6 — a\) имеет единственный нуль?

Есть только один нуль, значит дискриминант равен нулю:

\(f(x) = (a — 1)x^{2} + 2ax + 6 — a\)

\(D = (2a)^{2} — 4(a — 1)(6 — a) = 0\)

Раскроем скобки:

\(4a^{2} — 4(6a — a^{2} — 6 + a) = 0\)

\(4a^{2} — 4(7a — a^{2} — 6) = 0\)

\(4a^{2} — 4(7a — a^{2} — 6) = 4a^{2} — 4 \cdot 7a + 4a^{2} + 24 = 0\)

\(4a^{2} — 28a + 4a^{2} + 24 = 0\)

\(8a^{2} — 28a + 24 = 0\)

Разделим на 4:

\(2a^{2} — 7a + 6 = 0\)

Дискриминант:

\(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1\)

Корни:

\(a_{1} = \frac{7 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5\)

\(a_{2} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2\)

Если \(a — 1 = 0\), то \(a = 1\)

Ответ: 1; 1,5; 2

1. Дана функция \(f(x) = (a — 1)x^{2} + 2ax + 6 — a\). Чтобы найти значения \(a\), при которых функция имеет только один нуль, нужно решить уравнение \(f(x) = 0\).

2. Запишем квадратное уравнение: \((a — 1)x^{2} + 2ax + 6 — a = 0\).

3. Коэффициенты уравнения: \(A = a — 1\), \(B = 2a\), \(C = 6 — a\).

4. Для того чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю: \(D = B^{2} — 4AC = 0\).

5. Подставим коэффициенты в формулу дискриминанта: \(D = (2a)^{2} — 4(a — 1)(6 — a) = 0\).

6. Раскроем скобки: \(4a^{2} — 4[(a — 1)(6 — a)] = 0\).

7. Вычислим произведение: \((a — 1)(6 — a) = 6a — a^{2} — 6 + a = -a^{2} + 7a — 6\).

8. Подставим обратно: \(4a^{2} — 4(-a^{2} + 7a — 6) = 4a^{2} + 4a^{2} — 28a + 24 = 0\).

9. Упростим: \(8a^{2} — 28a + 24 = 0\).

10. Разделим уравнение на 4: \(2a^{2} — 7a + 6 = 0\). Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1\). Найдём корни: \(a_{1} = \frac{7 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5\), \(a_{2} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2\).

11. Проверим случай, когда \(a — 1 = 0\), то есть \(a = 1\). Тогда функция становится линейной: \(f(x) = 2x + 5\), которая имеет один корень.

12. Ответ: \(1; 1,5; 2\).