ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 29 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(a^2 + b^2 — 16a + 14b + 114 > 0\);

2) \(x^2 + y^2 + 10 \geq 6x — 2y\);

3) \(c^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 \geq 0\).

1) \(a^2 + b^2 — 16a + 14b + 114 > 0\);
\(a^2 — 16a + 64 + b^2 + 14b + 49 + 1 > 0\);
\((a — 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0\);
Неравенство доказано.

2) \(x^2 + y^2 + 10 \geq 6x — 2y\);
\(x^2 — 6x + 9 + y^2 — 2y + 1 \geq 0\);
\((x — 3)^2 + (y — 1)^2 \geq 0\);
Неравенство доказано.

3) \(c^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 \geq 0\);
\(c^2 + 4cd + 4d^2 + d^2 — 4d + 4 \geq 0\);
\((c + 2d)^2 + (d — 2)^2 \geq 0\);
Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство \(a^2 + b^2 — 16a + 14b + 114 > 0\). Сначала сгруппируем выражение по переменным: \(a^2 — 16a + b^2 + 14b + 114\). Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем подходящие числа. Для \(a^2 — 16a\) это будет \(64\), так как \((-8)^2 = 64\). Значит, \(a^2 — 16a = (a — 8)^2 — 64\). Для \(b^2 + 14b\) добавим и вычтем \(49\), так как \(7^2 = 49\), тогда \(b^2 + 14b = (b + 7)^2 — 49\). Подставим обратно: \((a — 8)^2 — 64 + (b + 7)^2 — 49 + 114\). Сложим числа: \(-64 — 49 + 114 = 1\). Получаем \((a — 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0\). Квадраты всегда неотрицательны, плюс 1, значит выражение всегда больше нуля.

Рассмотрим второе неравенство \(x^2 + y^2 + 10 \geq 6x — 2y\). Перенесём все слагаемые в левую часть: \(x^2 + y^2 + 10 — 6x + 2y \geq 0\). Сгруппируем: \(x^2 — 6x + y^2 + 2y + 10 \geq 0\). Выделим полный квадрат для \(x\): \(x^2 — 6x = (x — 3)^2 — 9\), для \(y\): \(y^2 + 2y = (y + 1)^2 — 1\). Подставим: \((x — 3)^2 — 9 + (y + 1)^2 — 1 + 10 \geq 0\). Сложим числа: \(-9 — 1 + 10 = 0\). Значит, \((x — 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\), что всегда верно.

Рассмотрим третье неравенство \(c^2 + 5d^2 + 4cd — 4d + 4 \geq 0\). Сгруппируем: \(c^2 + 4cd + 5d^2 — 4d + 4\). Разложим \(5d^2\) как \(4d^2 + d^2\): \(c^2 + 4cd + 4d^2 + d^2 — 4d + 4\). Выделим полный квадрат: \(c^2 + 4cd + 4d^2 = (c + 2d)^2\). Остаток: \(d^2 — 4d + 4 = (d — 2)^2\). Подставим: \((c + 2d)^2 + (d — 2)^2 \geq 0\), что всегда верно.