ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 305 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое наименьшее значение может принимать данное выражение и при каком значении переменной:

1) \((x — 6)^2 + 3\);

2) \((x + 4)^2 — 5\);

3) \(x^2 + 2x — 6\);

4) \(x^2 — 10x + 18\).

1) \((x — 6)^2 + 3\);
Минимум при \(x_0 = 6\), тогда \(y_0 = 3\).
Ответ: \((6; 3)\).

2) \((x + 4)^2 — 5\);
Минимум при \(x_0 = -4\), тогда \(y_0 = -5\).
Ответ: \((-4; -5)\).

3) \(x^2 + 2x — 6\);
\(x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\),
\(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 6 = 1 — 2 — 6 = -7\).
Ответ: \((-1; -7)\).

4) \(x^2 — 10x + 18\);
\(x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5\),
\(y_0 = 5^2 — 10 \cdot 5 + 18 = 25 — 50 + 18 = -7\).
Ответ: \((5; -7)\).

1) Рассмотрим выражение \((x — 6)^2 + 3\). Квадрат любого числа неотрицателен, значит \((x — 6)^2 \geq 0\). Минимальное значение этого выражения будет при \(x — 6 = 0\), то есть при \(x = 6\). Подставим это значение в выражение: \(y = (6 — 6)^2 + 3 = 0 + 3 = 3\). Значит, минимальное значение равно 3 при \(x = 6\).

2) Рассмотрим выражение \((x + 4)^2 — 5\). Квадрат любого числа неотрицателен, значит \((x + 4)^2 \geq 0\). Минимум достигается при \(x + 4 = 0\), то есть при \(x = -4\). Подставим это значение: \(y = ( -4 + 4)^2 — 5 = 0 — 5 = -5\). Значит, минимальное значение равно -5 при \(x = -4\).

3) Рассмотрим выражение \(x^2 + 2x — 6\). Это квадратный трёхчлен с коэффициентами \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -6\). Вершина параболы находится в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\). Подставим \(x_0\) в выражение: \(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 6 = 1 — 2 — 6 = -7\). Значит, минимальное значение равно -7 при \(x = -1\).

4) Рассмотрим выражение \(x^2 — 10x + 18\). Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 18\). Вершина параболы: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5\). Подставим: \(y_0 = 5^2 — 10 \cdot 5 + 18 = 25 — 50 + 18 = -7\). Значит, минимальное значение равно -7 при \(x = 5\).