ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 321 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = (x + 5)^2 — 9 \). Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Дана функция \( y = (x + 5)^2 — 9 \).

1) Найдем нули функции:
\( (x + 5)^2 — 9 = 0 \)
\( (x + 5)^2 = 9 \)
\( x + 5 = 3 \) или \( x + 5 = -3 \)
\( x = -2 \) или \( x = -8 \).

2) Функция положительна, когда
\( (x + 5)^2 — 9 > 0 \)
\( (x + 5)^2 > 9 \)
\( x + 5 > 3 \) или \( x + 5 < -3 \)
\( x > -2 \) или \( x < -8 \).

3) Функция возрастает при \( x \in [-5; +\infty) \), убывает при \( x \in (-\infty; -5] \).

4) Область значений функции \( E(y) = [-9; +\infty) \).

1) Чтобы найти нули функции \( y = (x + 5)^2 — 9 \), нужно понять, при каких значениях \( x \) функция принимает значение ноль. Для этого приравниваем выражение к нулю:
\( (x + 5)^2 — 9 = 0 \).
Это уравнение говорит, что квадрат числа \( (x + 5) \), уменьшенный на 9, равен нулю. Чтобы избавиться от минуса, прибавим 9 к обеим частям уравнения:
\( (x + 5)^2 = 9 \).
Теперь нам нужно найти такие \( x \), при которых квадрат равен 9. Известно, что число в квадрате может быть как 3, так и -3, потому что \( 3^2 = 9 \) и \( (-3)^2 = 9 \). Значит,
\( x + 5 = 3 \) или \( x + 5 = -3 \).
Вычитая 5 из обеих частей каждого уравнения, получаем:
\( x = -2 \) или \( x = -8 \).
Это и есть точки пересечения графика функции с осью \( x \), то есть нули функции.

2) Чтобы определить, где функция положительна, рассмотрим неравенство:
\( (x + 5)^2 — 9 > 0 \).
Это означает, что квадрат числа \( (x + 5) \), уменьшенный на 9, должен быть больше нуля. Переносим -9 вправо:
\( (x + 5)^2 > 9 \).
Теперь нужно понять, для каких \( x \) квадрат числа больше 9. Квадрат числа больше 9, если само число больше 3 или меньше -3, так как \( 3^2 = 9 \) и \( (-3)^2 = 9 \). Значит,
\( x + 5 > 3 \) или \( x + 5 < -3 \).
Вычитая 5 из обеих частей, получаем:
\( x > -2 \) или \( x < -8 \).
Это означает, что функция принимает положительные значения, когда \( x \) меньше -8 или больше -2.

3) Рассмотрим поведение функции на промежутках. Функция \( y = (x + 5)^2 — 9 \) — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадрате положительный. Вершина параболы находится в точке, где выражение под квадратом равно нулю, то есть при \( x = -5 \). Подставим это значение в функцию, чтобы найти минимальное значение:
\( y = (-5 + 5)^2 — 9 = 0 — 9 = -9 \).
Это минимальное значение функции.
На промежутке \( (-\infty; -5] \) функция убывает, потому что при движении слева направо к вершине значение функции уменьшается от больших положительных чисел к минимальному значению. После вершины, на промежутке \( [-5; +\infty) \), функция возрастает, так как значения функции начинают увеличиваться от минимума к бесконечности.
Таким образом, область значений функции — это все числа от минимального значения \( -9 \) до бесконечности, то есть \( E(y) = [-9; +\infty) \).