ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 322 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = (x — 4)^2 + 4 \). Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Дана функция \( y = (x — 4)^2 + 4 \).

1) Нули функции:
Решаем \( (x — 4)^2 + 4 = 0 \)
\( (x — 4)^2 = -4 \) — решений нет, так как квадрат не может быть отрицательным.
Ответ: нулей нет.

2) Отрицательные значения функции:
\( (x — 4)^2 \geq 0 \), значит \( y \geq 4 \). Отрицательных значений нет.
Ответ: нет отрицательных значений.

3) Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает, когда \( x \leq 4 \), и возрастает, когда \( x \geq 4 \).
Ответ: убывает на \( (-\infty; 4] \), возрастает на \( [4; +\infty) \).

4) Область значений функции:
Минимальное значение \( y = 4 \) при \( x = 4 \), максимума нет.
Ответ: \( E(y) = [4; +\infty) \).

1) Нули функции находятся из уравнения \( (x — 4)^2 + 4 = 0 \). Переносим 4 в правую часть: \( (x — 4)^2 = -4 \). Квадрат любого числа не может быть отрицательным, значит решений нет. Значит, у функции нет нулей.

2) Функция принимает отрицательные значения, если \( (x — 4)^2 + 4 < 0 \). Так как \( (x — 4)^2 \geq 0 \) для любого \( x \), то сумма с 4 всегда будет больше или равна 4. Значит, отрицательных значений функция не принимает.

3) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, рассмотрим производную функции \( y = (x — 4)^2 + 4 \). Производная равна \( y’ = 2(x — 4) \). При \( x < 4 \) производная отрицательна, значит функция убывает. При \( x > 4 \) производная положительна, значит функция возрастает. В точке \( x = 4 \) функция достигает минимума.

4) Область значений функции — это все возможные значения \( y \). Минимальное значение достигается при \( x = 4 \), тогда \( y = (4 — 4)^2 + 4 = 4 \). Максимального значения нет, так как функция уходит в бесконечность при больших \( x \). Значит область значений — от 4 до \( +\infty \).