ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 336 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{5a — 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a} \);

2) \( \frac{5a — 6b}{ab} + \frac{5b — 5c}{bc} \);

3) \( \frac{8a + 5b}{5ab^2} — \frac{2a — 7b}{2a^2 b} \);

4) \( \frac{m^2 + 4n^2}{8m^4 n^4} — \frac{3m + 4n}{6m^5 n^2} \).

\( \frac{5a-3}{8a} + \frac{a+9}{4a} = \frac{5a-3}{8a} + \frac{2(a+9)}{8a} = \frac{5a-3+2a+18}{8a} = \frac{7a+15}{8a} \);

\( \frac{5a-6b}{ab} + \frac{5b-5c}{bc} = \frac{(5a-6b)c}{abc} + \frac{(5b-5c)a}{abc} = \frac{5ac-6bc+5ab-5ac}{abc} = \frac{5ab-6bc}{abc} = \frac{5a-6c}{ac} \);

\( \frac{8a+5b}{5ab^2} — \frac{2a-7b}{2a^2b} = \frac{2a(8a+5b)}{10a^2b^2} — \frac{5b(2a-7b)}{10a^2b^2} = \frac{16a^2+10ab — 10ab + 35b^2}{10a^2b^2} = \frac{16a^2+35b^2}{10a^2b^2} \);

\( \frac{m^2+4n^2}{8m^4n^4} — \frac{3m+4n}{6m^5n^2} = \frac{3m(m^2+4n^2)}{24m^5n^4} — \frac{4n(3m+4n)}{24m^5n^4} = \frac{3m^3+12mn^2 — 12mn — 16n^2}{24m^5n^4}=\)
\( = \frac{3m^3 — 16n^3}{24m^5n^4} \).

1) Для сложения дробей \(\frac{5a-3}{8a}\) и \(\frac{a+9}{4a}\) необходимо привести их к общему знаменателю. Первый знаменатель равен \(8a\), а второй — \(4a\). Чтобы найти общий знаменатель, нужно взять наименьшее общее кратное этих двух выражений. Поскольку \(8a\) делится на \(4a\), общий знаменатель будет \(8a\).

Чтобы привести вторую дробь к знаменателю \(8a\), умножим и числитель, и знаменатель на 2:
\(\frac{a+9}{4a} = \frac{2(a+9)}{2 \cdot 4a} = \frac{2a + 18}{8a}\). Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель \(8a\), и их можно складывать, складывая числители.

Складываем числители:
\(5a — 3 + 2a + 18 = 7a + 15\).
Таким образом, сумма дробей равна \(\frac{7a + 15}{8a}\).

2) Рассмотрим сложение дробей \(\frac{5a — 6b}{ab}\) и \(\frac{5b — 5c}{bc}\). Для сложения нужно привести дроби к общему знаменателю. Переменные в знаменателях различны, поэтому общий знаменатель будет произведением всех переменных: \(abc\).

Для первой дроби умножаем числитель и знаменатель на \(c\), чтобы получить знаменатель \(abc\):
\(\frac{5a — 6b}{ab} = \frac{(5a — 6b)c}{abc} = \frac{5ac — 6bc}{abc}\).
Для второй дроби умножаем числитель и знаменатель на \(a\):
\(\frac{5b — 5c}{bc} = \frac{(5b — 5c)a}{abc} = \frac{5ab — 5ac}{abc}\).

Теперь складываем числители:
\(5ac — 6bc + 5ab — 5ac\).
Обратите внимание, что \(5ac\) и \(-5ac\) сокращаются, остаётся:
\(5ab — 6bc\).
Итоговая дробь: \(\frac{5ab — 6bc}{abc}\).

Если выделить общий множитель \(b\) в числителе и знаменателе, то дробь можно упростить:
\(\frac{b(5a — 6c)}{abc} = \frac{5a — 6c}{ac}\).

3) Для вычитания дробей \(\frac{8a + 5b}{5ab^2}\) и \(\frac{2a — 7b}{2a^2 b}\) сначала найдём общий знаменатель. Первый знаменатель — \(5 a b^2\), второй — \(2 a^2 b\). Общий знаменатель будет наименьшим общим кратным, которое содержит все переменные с максимальными степенями: \(10 a^2 b^2\).

Чтобы привести первую дробь к знаменателю \(10 a^2 b^2\), умножим числитель и знаменатель на \(2a\):
\(\frac{8a + 5b}{5 a b^2} = \frac{2a (8a + 5b)}{10 a^2 b^2} = \frac{16 a^2 + 10 a b}{10 a^2 b^2}\).

Вторую дробь умножим числитель и знаменатель на \(5b\):
\(\frac{2a — 7b}{2 a^2 b} = \frac{5b (2a — 7b)}{10 a^2 b^2} = \frac{10 a b — 35 b^2}{10 a^2 b^2}\).

Теперь вычитаем числители:
\(16 a^2 + 10 a b — (10 a b — 35 b^2) = 16 a^2 + 10 a b — 10 a b + 35 b^2 = 16 a^2 + 35 b^2\).
Итог:
\(\frac{16 a^2 + 35 b^2}{10 a^2 b^2}\).

4) Рассмотрим вычитание дробей \(\frac{m^2 + 4 n^2}{8 m^4 n^4}\) и \(\frac{3 m + 4 n}{6 m^5 n^2}\). Общий знаменатель будет наименьшим общим кратным \(24 m^5 n^4\), так как \(8 = 2^3\), \(6 = 2 \cdot 3\), максимальная степень по \(m\) — 5, по \(n\) — 4.

Приводим первую дробь к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель на \(3 m\):
\(\frac{m^2 + 4 n^2}{8 m^4 n^4} = \frac{3 m (m^2 + 4 n^2)}{24 m^5 n^4} = \frac{3 m^3 + 12 m n^2}{24 m^5 n^4}\).

Вторую дробь умножаем числитель и знаменатель на \(4 n^2\):
\(\frac{3 m + 4 n}{6 m^5 n^2} = \frac{4 n^2 (3 m + 4 n)}{24 m^5 n^4} = \frac{12 m n^2 + 16 n^3}{24 m^5 n^4}\).

Вычитаем числители:
\(3 m^3 + 12 m n^2 — (12 m n^2 + 16 n^3) = 3 m^3 + 12 m n^2 — 12 m n^2 — 16 n^3 =\)
\(=3 m^3 — 16 n^3\).
Итог:
\(\frac{3 m^3 — 16 n^3}{24 m^5 n^4}\).