ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 338 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то её значение уменьшается на \( \frac{1}{12} \). Найдите эту дробь.

Пусть дробь \( \frac{m}{n} \), где \( m < n \), \( m, n \in \mathbb{N} \). Из условия: \( n - m = 1 \), значит \( n = m + 1 \). Если числитель и знаменатель уменьшить на 1, то дробь станет \( \frac{m-1}{n-1} = \frac{m-1}{m} \). По условию: \( \frac{m}{n} - \frac{m-1}{n-1} = \frac{1}{12} \). Подставляем \( n = m + 1 \): \( \frac{m}{m+1} - \frac{m-1}{m} = \frac{1}{12} \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{m^2}{m(m+1)} - \frac{(m-1)(m+1)}{m(m+1)} = \frac{1}{12} \). Раскроем скобки во втором числителе: \( \frac{m^2 - (m^2 - 1)}{m(m+1)} = \frac{1}{12} \). Упростим числитель: \( \frac{1}{m(m+1)} = \frac{1}{12} \). Отсюда: \( m(m+1) = 12 \). Решаем уравнение: \( m^2 + m - 12 = 0 \). Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \). Корни: \( m_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \) (не подходит), \( m_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \). Тогда \( n = m + 1 = 4 \). Ответ: \( \frac{3}{4} \).

1) Пусть числитель дроби равен \( m \), а знаменатель — \( n \). По условию числитель на 1 меньше знаменателя, значит можно записать уравнение \( n — m = 1 \), откуда следует, что \( n = m + 1 \).

2) Если числитель и знаменатель уменьшить на 1, новая дробь будет \( \frac{m-1}{n-1} \). По условию разность между исходной дробью и новой равна \( \frac{1}{12} \), значит: \( \frac{m}{n} — \frac{m-1}{n-1} = \frac{1}{12} \).

3) Подставим \( n = m + 1 \) в уравнение: \( \frac{m}{m+1} — \frac{m-1}{m} = \frac{1}{12} \).

4) Приведём левую часть к общему знаменателю \( m(m+1) \): \( \frac{m^2}{m(m+1)} — \frac{(m-1)(m+1)}{m(m+1)} = \frac{1}{12} \).

5) Раскроем скобки во втором числителе: \( (m-1)(m+1) = m^2 — 1 \), тогда выражение примет вид \( \frac{m^2 — (m^2 — 1)}{m(m+1)} = \frac{1}{12} \).

6) Упростим числитель: \( m^2 — m^2 + 1 = 1 \), значит уравнение стало \( \frac{1}{m(m+1)} = \frac{1}{12} \).

7) Приравниваем знаменатели: \( m(m+1) = 12 \).

8) Раскроем скобки: \( m^2 + m = 12 \), или \( m^2 + m — 12 = 0 \).

9) Найдём дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).

10) Решим квадратное уравнение: \( m = \frac{-1 \pm 7}{2} \). Корни: \( m_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \) (отрицательный, не подходит), \( m_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \). Тогда \( n = m + 1 = 4 \).

Ответ: \( \frac{3}{4} \).