ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 350 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f (x) = 3x^2 — 6x\). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) при каких значениях \(x\) выполняется неравенство \(f (x) > 0\).

Задана функция: \(f(x) = 3x^2 — 6x\)
Точка \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 3} = 1\)
Точка \(y_0 = 3 — 6 = -3\)
Область значений функции: \((-\infty, +\infty)\)
Промежуток убывания: \((-\infty, 1]\)
Значения \(x\), при которых \(f(x) > 0\): \(x \leq 0\) и \(x \geq 2\)

1) Функция \(f(x) = 3x^2 — 6x\) определена на всей числовой прямой, то есть её областью определения является \((-\infty, +\infty)\). Таким образом, область значений данной функции также является \((-\infty, +\infty)\), так как функция является непрерывной и может принимать любые действительные значения.

2) Для нахождения промежутка убывания функции \(f(x) = 3x^2 — 6x\) необходимо найти критическую точку, в которой производная функции равна нулю. Производная данной функции равна \(f'(x) = 6x — 6\), и она обращается в ноль при \(x = 1\). Следовательно, функция убывает на промежутке \((-\infty, 1]\).

3) Для определения значений \(x\), при которых функция \(f(x) = 3x^2 — 6x\) принимает положительные значения, необходимо решить неравенство \(3x^2 — 6x > 0\). Это неравенство можно представить в виде \(3(x^2 — 2x) > 0\), что эквивалентно \(3(x — 0)(x — 2) > 0\). Следовательно, функция \(f(x) = 3x^2 — 6x\) принимает положительные значения при \(x \leq 0\) и \(x \geq 2\).

4) Таким образом, область значений функции \(f(x) = 3x^2 — 6x\) является \((-\infty, +\infty)\), функция убывает на промежутке \((-\infty, 1]\), и она принимает положительные значения при \(x \leq 0\) и \(x \geq 2\).

5) Графическое представление данной функции позволяет наглядно увидеть все эти свойства. График функции \(f(x) = 3x^2 — 6x\) имеет форму параболы, открытой вверх, с вершиной в точке \((1, -3)\).