ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 365 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) нулями функции \(y = ax^2 + bx + 7\) являются числа \(-2\) и \(3\)?

График проходит через точки \(A(-2; 0)\) и \(B(3; 0)\), значит:

В точке \(A\):
\(0 = a(-2)^2 + b(-2) + 7\),
\(0 = 4a — 2b + 7\),
\(2b = 4a + 7\),
\(b = 2a + 3,5\).

В точке \(B\):
\(0 = a(3)^2 + b(3) + 7\),
\(0 = 9a + 3b + 7\).

Подставим \(b = 2a + 3,5\) в уравнение для точки \(B\):
\(0 = 9a + 3(2a + 3,5) + 7\),
\(0 = 9a + 6a + 10,5 + 7\),
\(15a + 17,5 = 0\),
\(15a = -17,5\),
\(a = -\frac{35}{30} = -\frac{7}{6}\).

Подставим \(a\) в выражение для \(b\):
\(b = 2\left(-\frac{7}{6}\right) + 3,5 = -\frac{14}{6} + \frac{7}{2} = -\frac{7}{3} + \frac{7}{2} = \frac{7}{6}\).

Ответ: \(a = -\frac{7}{6}\), \(b = \frac{7}{6}\).

1) Подставим \(x = -2\) в уравнение \(y = ax^2 + bx + 7\), так как при \(x = -2\) функция равна нулю:
\(0 = a(-2)^2 + b(-2) + 7\),
\(0 = 4a — 2b + 7\).
Переносим 7 в правую часть:
\(4a — 2b = -7\).

2) Подставим \(x = 3\) в уравнение, так как при \(x = 3\) функция тоже равна нулю:
\(0 = a(3)^2 + b(3) + 7\),
\(0 = 9a + 3b + 7\).
Переносим 7 в правую часть:
\(9a + 3b = -7\).

3) Получили систему уравнений:

4) Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(b\) были кратны:
\(3(4a — 2b) = 3(-7)\),
\(12a — 6b = -21\).

5) Умножим второе уравнение на 2:
\(2(9a + 3b) = 2(-7)\),
\(18a + 6b = -14\).

6) Сложим полученные уравнения:
\((12a — 6b) + (18a + 6b) = -21 + (-14)\),
\(30a = -35\).

7) Найдем \(a\):
\(a = \frac{-35}{30} = -\frac{7}{6}\).

8) Подставим найденное значение \(a\) в первое уравнение системы:
\(4 \cdot \left(-\frac{7}{6}\right) — 2b = -7\),
\(-\frac{28}{6} — 2b = -7\).

9) Приведем к общему виду и решим для \(b\):
\(-2b = -7 + \frac{28}{6} = -\frac{42}{6} + \frac{28}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}\),
\(2b = \frac{7}{3}\),
\(b = \frac{7}{6}\).

10) Ответ:
\(a = -\frac{7}{6}\), \(b = \frac{7}{6}\).