ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 366 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) парабола \(y = ax^2 + bx — 4\) проходит через точки \(C(-3; 8)\) и \(D(1; 4)\)?

Пусть \(y = ax^2 + bx — 4\).

Подставляем точку \(C(-3; 8)\):

\(8 = 9a — 3b — 4\), значит \(12 = 9a — 3b\), откуда \(4 = 3a — b\) и \(b = 3a — 4\).

Подставляем точку \(D(1; 4)\):

\(4 = a + b — 4\), значит \(8 = a + b\).

Подставляем \(b = 3a — 4\) в \(8 = a + b\):

\(8 = a + 3a — 4\), значит \(8 = 4a — 4\), откуда \(12 = 4a\) и \(a = 3\).

Тогда \(b = 3 \cdot 3 — 4 = 5\).

Ответ: \(a = 3\), \(b = 5\).

Начнём с того, что нам дана парабола с уравнением \(y = ax^2 + bx — 4\). Это уравнение описывает кривую, где \(a\) и \(b\) — неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Чтобы определить эти коэффициенты, мы используем информацию о том, что парабола проходит через две известные точки: \(C(-3; 8)\) и \(D(1; 4)\). Это значит, что если подставить координаты этих точек в уравнение параболы, то равенства должны выполняться. Это даёт нам систему уравнений с двумя неизвестными.

Подставляя первую точку \(C(-3; 8)\), мы заменяем \(x\) на \(-3\) и \(y\) на \(8\), получая уравнение \(8 = a(-3)^2 + b(-3) — 4\). Возводим \(-3\) в квадрат, получая \(9\), и умножаем на \(a\), что даёт \(9a\). Для второго слагаемого умножаем \(b\) на \(-3\), получая \(-3b\). Таким образом, уравнение становится \(8 = 9a — 3b — 4\). Чтобы упростить, переносим \(-4\) в левую часть, получая \(8 + 4 = 9a — 3b\), то есть \(12 = 9a — 3b\). Делим обе части на \(3\), чтобы упростить коэффициенты: \(4 = 3a — b\). Из этого выражения удобно выразить \(b\), получаем \(b = 3a — 4\).

Теперь подставим вторую точку \(D(1; 4)\) в уравнение параболы: \(4 = a(1)^2 + b(1) — 4\). Возводим \(1\) в квадрат, это остаётся \(1\), умножаем на \(a\), получаем \(a\). Умножаем \(b\) на \(1\), остаётся \(b\). Значит уравнение принимает вид \(4 = a + b — 4\). Переносим \(-4\) в левую часть, получаем \(4 + 4 = a + b\), то есть \(8 = a + b\). Теперь в это уравнение подставляем выражение для \(b\), которое нашли ранее: \(8 = a + 3a — 4\), что равно \(8 = 4a — 4\). Переносим \(-4\) в левую часть, получается \(8 + 4 = 4a\), или \(12 = 4a\). Делим обе части на \(4\), находим \(a = \frac{12}{4} = 3\). Подставляем это значение обратно в выражение для \(b\): \(b = 3 \cdot 3 — 4 = 9 — 4 = 5\). Таким образом, мы нашли значения коэффициентов \(a = 3\) и \(b = 5\), которые удовлетворяют условию прохождения параболы через заданные точки.