ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 367 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(D\) — дискриминант квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\). Изобразите схематически график квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\), если:
1) \(a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0\);
3) \(a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0\);
2) \(a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0\); 4) \(a < 0, c = 0, -\frac{b}{2a} < 0\).

1) \(a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0\)

\(a > 0\) – ветви направлены вверх.
\(D > 0\) – парабола пересекает ось \(x\) в двух точках.
\(c > 0\) – пересечение с осью \(y\) выше нуля.
\(-\frac{b}{2a} > 0\) – вершина при \(x > 0\).

График: ветви вверх, вершина справа, пересечение с осью \(x\) в двух точках, пересечение с осью \(y\) выше нуля.

2) \(a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0\) \(a > 0\) – ветви направлены вверх.
\(D = 0\) – парабола касается оси \(x\) (одинарный корень).
\(-\frac{b}{2a} < 0\) – вершина при \(x < 0\).

График: ветви вверх, касание оси \(x\) слева, вершина слева.

3) \(a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0\)

\(a < 0\) – ветви направлены вниз.
\(D < 0\) – нет пересечений с осью \(x\). \(-\frac{b}{2a} > 0\) – вершина при \(x > 0\).

График: ветви вниз, вершина справа, нет пересечений с осью \(x\).

4) \(a < 0, c = 0, -\frac{b}{2a} < 0\)

\(a < 0\) – ветви направлены вниз.
\(c = 0\) – пересечение с осью \(y\) в начале координат.
\(-\frac{b}{2a} < 0\) – вершина при \(x < 0\).

График: ветви вниз, вершина слева, пересечение с осью \(y\) в точке \((0,0)\).

1) Рассмотрим функцию \(y = ax^2 + bx + c\) при условиях \(a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0\).

Так как \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх. Это значит, что график имеет форму чаши, открытой вверх.

Дискриминант \(D = b^2 — 4ac > 0\) указывает, что у уравнения есть два различных корня, значит парабола пересекает ось \(x\) в двух точках.

Постоянный член \(c > 0\) означает, что точка пересечения с осью \(y\) находится выше нуля, то есть график пересекает ось \(y\) в положительной точке.

Вершина параболы находится в точке \(x = -\frac{b}{2a}\). Условие \(-\frac{b}{2a} > 0\) говорит, что вершина расположена справа от оси \(y\).

Итог: парабола с ветвями вверх, вершина справа, пересечения с осью \(x\) две точки, пересечение с осью \(y\) выше нуля.

2) При \(a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} < 0\) Ветви параболы направлены вверх, так как \(a > 0\).

Дискриминант равен нулю, поэтому уравнение имеет один корень, и парабола касается оси \(x\) в одной точке (точка касания).

Вершина находится в точке \(x = -\frac{b}{2a}\), и условие \(-\frac{b}{2a} < 0\) означает, что вершина расположена слева от оси \(y\). Итог: парабола с ветвями вверх, касание оси \(x\) слева, вершина слева. 3) При \(a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0\)

Так как \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз, график похож на перевёрнутую чашу. Дискриминант меньше нуля, значит уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось \(x\). Вершина находится в точке \(x = -\frac{b}{2a}\), и условие \(-\frac{b}{2a} > 0\) говорит, что вершина справа от оси \(y\).

Итог: парабола с ветвями вниз, вершина справа, пересечений с осью \(x\) нет.

4) При \(a < 0, c = 0, -\frac{b}{2a} < 0\) Ветви направлены вниз, так как \(a < 0\). Постоянный член \(c = 0\) означает, что парабола проходит через начало координат \((0,0)\). Вершина находится при \(x = -\frac{b}{2a}\), и так как \(-\frac{b}{2a} < 0\), вершина расположена слева от оси \(y\). Итог: парабола с ветвями вниз, вершина слева, график проходит через начало координат.