ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 370 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(b\) промежуток \((-\infty; -3]\) является промежутком убывания функции \(y = 3x^2 + bx — 8\)?

Дана функция \( y = 3x^2 + bx — 8 \).

Производная \( y’ = 6x + b \).

Функция убывает, когда \( y’ < 0 \), то есть \( 6x + b < 0 \).

Значит, \( x < -\frac{b}{6} \).

По условию убывание на \( (-\infty; -3] \), значит \( -\frac{b}{6} = -3 \).

Отсюда \( \frac{b}{6} = 3 \), значит \( b = 18 \).

Ответ: 18.

Функция задана выражением \( y = 3x^{2} + bx — 8 \). Чтобы понять, на каких промежутках функция возрастает или убывает, необходимо найти её производную, так как знак производной показывает поведение функции. Производная функции \( y \) по переменной \( x \) равна \( y’ = 6x + b \). Это значит, что скорость изменения функции в каждой точке \( x \) определяется линейной зависимостью от \( x \) и параметра \( b \).

Для того чтобы функция убывала на промежутке \( (-\infty; -3] \), производная должна быть отрицательной на этом промежутке. Иначе говоря, \( y’ < 0 \) для всех \( x \leq -3 \). Подставляя выражение для производной, получаем неравенство \( 6x + b < 0 \). Решая это неравенство относительно \( x \), получаем \( x < -\frac{b}{6} \). Это означает, что функция убывает на всех значениях \( x \), которые меньше \( -\frac{b}{6} \).

Поскольку по условию функция убывает на промежутке \( (-\infty; -3] \), граница убывания должна совпадать с точкой \( -3 \). Это значит, что \( -\frac{b}{6} = -3 \). Умножая обе части уравнения на \( -6 \), получаем \( b = 18 \). Таким образом, при \( b = 18 \) функция будет убывать на заданном промежутке, что и требовалось найти.