ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 372 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) функция \(y = 0.5x^2 — 3x + a\) принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях \(x\)?

Задана функция: \( y = 0,5x^{2} — 3x + a \).

Для всех значений \( y \geq 0 \), дискриминант должен быть меньше или равен нулю:

\( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 0,5 \cdot a \leq 0 \).

Вычисляем:

\( 9 — 2a \leq 0 \).

Решаем неравенство:

\( 2a \geq 9 \),

\( a \geq \frac{9}{2} \),

\( a \geq 4,5 \).

Ответ: \( a \in [4,5; +\infty) \).

1. Дана функция \( y = 0,5x^{2} — 3x + a \). Это квадратный трёхчлен с коэффициентом при \( x^{2} \), равным 0,5, который больше нуля. Значит, график — парабола, ветви которой направлены вверх.

2. Чтобы функция была неотрицательной для всех \( x \in \mathbb{R} \), нужно, чтобы парабола не пересекала ось \( x \) или касалась её в одной точке. Это значит, что у уравнения \( 0,5x^{2} — 3x + a = 0 \) должен быть не более одного корня.

3. Для проверки количества корней вычислим дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 0,5 \), \( b = -3 \), \( c = a \).

4. Подставляем значения: \( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 0,5 \cdot a = 9 — 2a \).

5. Условие, что корней не больше одного, означает \( D \leq 0 \).

6. Решаем неравенство: \( 9 — 2a \leq 0 \).

7. Переносим \( 2a \) вправо: \( 9 \leq 2a \).

8. Делим обе части неравенства на 2: \( \frac{9}{2} \leq a \).

9. Получаем \( a \geq \frac{9}{2} \).

10. Значит, при \( a \geq 4,5 \) функция \( y = 0,5x^{2} — 3x + a \) будет неотрицательной для всех \( x \in \mathbb{R} \).