ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 385 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{(x + 3)^3}{x + 3} \);

2) \( y = \frac{x^3 — 6x^2 + 8x}{x} \);

3) \( y = \frac{x^4 — 1}{1 — x^2} \).

1) \( y = \frac{(x+3)^3}{x+3} = (x+3)^2, \quad x \neq -3 \)
При \(x = -3\) функция не определена.

2) \( y = \frac{x^3 — 6x^2 + 8x}{x} = x^2 — 6x + 8, \quad x \neq 0 \)
При \(x = 0\) функция не определена.

3) \( y = \frac{x^4 — 1}{1 — x^2} = \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{1 — x^2} = \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{-(x^2 — 1)} = -(x^2 + 1), \quad x^2 \neq 1 \)
При \(x = \pm 1\) функция не определена.

1) Рассмотрим функцию \( y = \frac{(x+3)^3}{x+3} \). Чтобы упростить, заметим, что при \( x \neq -3 \) можно сократить числитель и знаменатель на \( x+3 \). Тогда получаем \( y = (x+3)^2 \). При \( x = -3 \) знаменатель равен нулю, значит функция не определена в этой точке. Таким образом, график функции — это парабола \( y = (x+3)^2 \) с разрывом в точке \( x = -3 \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^3 — 6x^2 + 8x}{x} \). Выносим \( x \) за скобки в числителе: \( x^3 — 6x^2 + 8x = x(x^2 — 6x + 8) \). При \( x \neq 0 \) сокращаем на \( x \) и получаем \( y = x^2 — 6x + 8 \). При \( x = 0 \) функция не определена, так как знаменатель равен нулю. Значит график — это парабола \( y = x^2 — 6x + 8 \) с разрывом в точке \( x = 0 \).

3) Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^4 — 1}{1 — x^2} \). Числитель раскладываем на множители: \( x^4 — 1 = (x^2 — 1)(x^2 + 1) \). Знаменатель можно записать как \( 1 — x^2 = -(x^2 — 1) \). Подставляем: \( y = \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{-(x^2 — 1)} \). При \( x^2 \neq 1 \) сокращаем на \( x^2 — 1 \) и получаем \( y = -(x^2 + 1) \). При \( x = \pm 1 \) знаменатель равен нулю, функция не определена. Значит график — это парабола \( y = -x^2 — 1 \) с разрывами в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \).