ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 390 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — нули функции \( y = -3x^2 — (3a — 2)x + 2a + 3 \). При каких значениях \( a \) выполняется неравенство \( x_1 < -2 < x_2 \)?

Пусть \(y = -3x^2 — (3a — 2)x + 2a + 3\). Нужно, чтобы \(x_1 < -2 < x_2\).

Вычислим значение функции в точке \(-2\):

\(y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 — (3a — 2)(-2) + 2a + 3 = -12 + 6a — 4 + 2a + 3 =\)
\(= 8a — 13\).

Для того чтобы \(-2\) было между корнями, \(y(-2) > 0\):

\(8a — 13 > 0\),

\(8a > 13\),

\(a > \frac{13}{8}\).

Ответ: \(a \in \left(\frac{13}{8}, +\infty\right)\).

1. Дана функция \(y = -3x^2 — (3a — 2)x + 2a + 3\). Обозначим корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_1 < x_2\).

2. Нужно найти такие значения параметра \(a\), при которых выполняется неравенство \(x_1 < -2 < x_2\).

3. Поскольку коэффициент при \(x^2\) равен \(-3 < 0\), график параболы направлен вниз, и функция положительна между корнями. 4. Следовательно, чтобы \(-2\) лежало между корнями, необходимо, чтобы \(y(-2) > 0\).

5. Подставим \(x = -2\) в функцию:

\(y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 — (3a — 2)(-2) + 2a + 3\).

6. Вычислим:

\(-3 \cdot 4 = -12\),

\(-(3a — 2)(-2) = 2(3a — 2) = 6a — 4\),

суммируем: \(-12 + 6a — 4 + 2a + 3 = 8a — 13\).

7. Запишем условие:

\(8a — 13 > 0\).

8. Решим неравенство:

\(8a > 13\),

\(a > \frac{13}{8}\).

9. Проверим дискриминант для существования двух корней:

\(D = B^2 — 4AC\), где \(A = -3\), \(B = -(3a — 2) = -3a + 2\), \(C = 2a + 3\).

10. Вычислим:

\(D = (-3a + 2)^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (2a + 3) = (3a — 2)^2 + 12(2a + 3) = 9a^{2} -\)
\(- 12a + 4 + 24a + 36 = 9a^{2} + 12a + 40\).

Дискриминант положителен для всех \(a\), значит уравнение всегда имеет два корня.

Ответ: \(a \in \left(\frac{13}{8}, +\infty\right)\).