ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 394 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Выполните действия:

1) \(\frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2}\);

2) \(\frac{p+4}{p-1} — \frac{p+20}{p+5}\);

3) \(\frac{x}{2x+3} — \frac{x+1}{2x-3}\).

1) \( \frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2} = \frac{(b+3)(b+2) + (b-2)(b-3)}{(b-3)(b+2)} = \frac{b^2 + 2b + 3b + 6 + b^2 — 3b — 2b + 6}{b^2 — 3b + 2b — 6} = \frac{2b^2 + 12}{b^2 — b — 6} \)

2) \( \frac{p+4}{p-1} — \frac{p+20}{p+5} = \frac{(p+4)(p+5) — (p+20)(p-1)}{(p-1)(p+5)} = \frac{p^2 + 4p + 5p + 20 — p^2 + p — 20p + 20}{p^2 — p + 5p — 5} = \frac{40 — 10p}{p^2 + 4p — 5} \)

3) \( \frac{x}{2x+3} — \frac{x+1}{2x-3} = \frac{x(2x-3) — (x+1)(2x+3)}{(2x+3)(2x-3)} = \frac{2x^2 — 3x — 2x^2 — 3x — 2x — 3}{4x^2 — 9} = \frac{8x + 3}{9 — 4x^2} \)

1) Выражение \( \frac{b+3}{b-3} + \frac{b-2}{b+2} \).

Найдём общий знаменатель. Это произведение знаменателей: \( (b-3)(b+2) \).

Приведём дроби к общему знаменателю:
\( \frac{b+3}{b-3} = \frac{(b+3)(b+2)}{(b-3)(b+2)} \),
\( \frac{b-2}{b+2} = \frac{(b-2)(b-3)}{(b+2)(b-3)} \).

Сложим числители:
\( (b+3)(b+2) + (b-2)(b-3) \).

Раскроем скобки:
\( (b+3)(b+2) = b^2 + 2b + 3b + 6 = b^{2} + 5b + 6 \),
\( (b-2)(b-3) = b^2 — 3b — 2b + 6 = b^{2} — 5b + 6 \).

Сложим полученные выражения:
\( b^{2} + 5b + 6 + b^{2} — 5b + 6 = 2b^{2} + 12 \).

Запишем итоговую дробь:
\( \frac{2b^{2} + 12}{(b-3)(b+2)} \).

Раскроем знаменатель:
\( (b-3)(b+2) = b^{2} — b — 6 \).

Ответ:
\( \frac{2(b^{2} + 6)}{b^{2} — b — 6} \).

2) Выражение \( \frac{p+4}{p-1} — \frac{p+20}{p+5} \).

Общий знаменатель: \( (p-1)(p+5) \).

Приведём дроби к общему знаменателю:
\( \frac{p+4}{p-1} = \frac{(p+4)(p+5)}{(p-1)(p+5)} \),
\( \frac{p+20}{p+5} = \frac{(p+20)(p-1)}{(p+5)(p-1)} \).

Вычислим числитель разности:
\( (p+4)(p+5) — (p+20)(p-1) \).

Раскроем скобки:
\( (p+4)(p+5) = p^{2} + 5p + 4p + 20 = p^{2} + 9p + 20 \),
\( (p+20)(p-1) = p^{2} — p + 20p — 20 = p^{2} + 19p — 20 \).

Вычислим разность:
\( p^{2} + 9p + 20 — (p^{2} + 19p — 20) = p^{2} + 9p + 20 — p^{2} — 19p + 20 =\)
\(= -10p + 40 \).

Раскроем знаменатель:
\( (p-1)(p+5) = p^{2} + 5p — p — 5 = p^{2} + 4p — 5 \).

Ответ:
\( \frac{40 — 10p}{p^{2} + 4p — 5} \).

3) Выражение \( \frac{x}{2x+3} — \frac{x+1}{2x-3} \).

Общий знаменатель: \( (2x+3)(2x-3) \).

Приведём дроби к общему знаменателю:
\( \frac{x}{2x+3} = \frac{x(2x-3)}{(2x+3)(2x-3)} \),
\( \frac{x+1}{2x-3} = \frac{(x+1)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)} \).

Вычислим числитель разности:
\( x(2x-3) — (x+1)(2x+3) \).

Раскроем скобки:
\( x(2x-3) = 2x^{2} — 3x \),
\( (x+1)(2x+3) = 2x^{2} + 3x + 2x + 3 = 2x^{2} + 5x + 3 \).

Вычислим разность:
\( 2x^{2} — 3x — (2x^{2} + 5x + 3) = 2x^{2} — 3x — 2x^{2} — 5x — 3 = -8x — 3 \).

Раскроем знаменатель, используя формулу разности квадратов:
\( (2x+3)(2x-3) = 4x^{2} — 9 \).

Ответ:
\( \frac{-(8x + 3)}{4x^{2} — 9} \).